Edits to “Условие”, “Решение”
ru/14.2.9.md
+29 −4
| @@ -1,11 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.2.9.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $14.2.9.$ В центре стержня находится лампочка. В системе отсчета, в которой стержень покоится, свет от лампочки дойдет до концов стержня одновременно, а в системе отсчета, в которой стержень движется в продольном направлении со скоростью $\upsilon$, свет придет на дальний конец на $\frac{l\upsilon}{c^{2}\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ позже, чем на ближний; $l$ — собственная длина стержня (длина стержня в системе отсчета, в которой стержень неподвижен). Докажите это. | ||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | Пусть наша лампочка находится в точке $x=0$ в момент $t=0$. Концы стержня имеют координаты $x_{л}=-\frac{l}{2}$ (левый), $x_{п}=\frac{l}{2}$ (правый). В системе отсчёта связанной со стержнем свет достигает концов стержны в моменты времени: | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | $$t_{л}=t_{п}=\frac{l}{2c}$$ | ||
| − | |||
| + | Перейдём в систему отсчёта, которая движется относительно стержны со скоростью $\upsilon$ в направлении от левого конца стержня к правому концу. Применим преобразование Лоренца для временной координаты: | ||
| + | |||
| + | $$t^{'}=\gamma\left( t-\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца. | ||
| + | |||
| + | Моменты времени прихода света в подвижной системе координат: | ||
| + | |||
| + | 1) для левого конца $x_{л}$: | ||
| + | |||
| + | $$t^{'}_{л}=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon(-\frac{l}{2})}{c^{2}} \right)=\gamma\left( \frac{l}{2c}+\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | 2) для правого конца $x_{п}$: | ||
| + | |||
| + | $$t^{'}_{п}=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon(\frac{l}{2})}{c^{2}} \right)=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Разница во времени между приходом света на левый и правый конец: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta t^{'}=t^{'}_{л}-t^{'}_{п}$$ | ||
| + | $$\Delta t^{'}=\gamma\left( \frac{l}{2c}+\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)-\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)=\gamma\frac{\upsilon l}{c^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставив фактор Лоренца, окончательно получим: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta t^{'}=\frac{l\upsilon}{c^{2}\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$$ | ||
| + | |||
| + | ЧТД. | ||
| @@ -1,11 +1,36 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.2.9.$ [Вставьте условие задачи] | $14.2.9.$ В центре стержня находится лампочка. В системе отсчета, в которой стержень покоится, свет от лампочки дойдет до концов стержня одновременно, а в системе отсчета, в которой стержень движется в продольном направлении со скоростью $\upsilon$, свет придет на дальний конец на $\frac{l\upsilon}{c^{2}\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ позже, чем на ближний; $l$ — собственная длина стержня (длина стержня в системе отсчета, в которой стержень неподвижен). Докажите это. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | Пусть наша лампочка находится в точке $x=0$ в момент $t=0$. Концы стержня имеют координаты $x_{л}=-\frac{l}{2}$ (левый), $x_{п}=\frac{l}{2}$ (правый). В системе отсчёта связанной со стержнем свет достигает концов стержны в моменты времени: | ||
| #### Ответ | $$t_{л}=t_{п}=\frac{l}{2c}$$ | ||
| Перейдём в систему отсчёта, которая движется относительно стержны со скоростью $\upsilon$ в направлении от левого конца стержня к правому концу. Применим преобразование Лоренца для временной координаты: | |||
| $$t^{'}=\gamma\left( t-\frac{\upsilon x}{c^{2}} \right)$$ | |||
| где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$ - фактор Лоренца. | |||
| Моменты времени прихода света в подвижной системе координат: | |||
| 1) для левого конца $x_{л}$: | |||
| $$t^{'}_{л}=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon(-\frac{l}{2})}{c^{2}} \right)=\gamma\left( \frac{l}{2c}+\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)$$ | |||
| 2) для правого конца $x_{п}$: | |||
| $$t^{'}_{п}=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon(\frac{l}{2})}{c^{2}} \right)=\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)$$ | |||
| Разница во времени между приходом света на левый и правый конец: | |||
| $$\Delta t^{'}=t^{'}_{л}-t^{'}_{п}$$ | |||
| $$\Delta t^{'}=\gamma\left( \frac{l}{2c}+\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)-\gamma\left( \frac{l}{2c}-\frac{\upsilon l}{2c^{2}} \right)=\gamma\frac{\upsilon l}{c^{2}}$$ | |||
| Подставив фактор Лоренца, окончательно получим: | |||
| $$\Delta t^{'}=\frac{l\upsilon}{c^{2}\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{с^{2}}}}$$ | |||
| ЧТД. | |||