Решение

Тело массой $m_3$ движется с ускорения центра масс системы

Рассматривая систему целиком(не учитывая внутренних сил)

$$\boxed{a_3 = \frac{F}{M+2m}}$$

При этом на тело $m_3$ действует сила, эквивалентная двойной силе натяжения нити $2T$

$$2T = M a_3$$

$$T = F\frac{M}{2(M+2m)}$$

На тело $m_1$ действует две силы $\vec{T}$ и $\vec{F}$

Второй закон Ньютона для первого тела запишем как

$$F-T = ma_1$$

$$\boxed{a_1=\frac{F(M+4m)}{2m(M+2m)}}$$

Аналогично, на второе тело $m_2$ действует только $\vec{T}$

$$m_2 = T$$

$$\boxed{a_2=\frac{FM}{2m(M+2m)}}$$