Решение

$\textbf{б.}$ Сначала решим подзадачу (б), поскольку её решение автоматически ответить на вопрос подзадачи (а).

На краю отверствия силовые линии электрического поля искривляются. Электроны, летящие в пучке, будут испытывать поперечную силу со стороны этого "искривлённого поля". На рисунке изображены силовые линии:

Поместим систему отсчёта в цилиндрических координатах в центр отверствия. Ось $z$ направим вдоль оси конденсатора. До пролёта пучка электронов внутри конденсатора и в области самого отверствия отсутсвуют свободные электрические заряды. Тогда теорема Гаусса в дифференциальной форме запишеться следующим образом:

$$\nabla\cdot\vec E=0$$

В цилиндрических координатах при осевой симметрии, когда $\frac{\partial }{\partial \varphi}=0$:

$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r}) }{\partial r}+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0$$

Рассмотрим область, где $r\ll R$, $R$ - радиус отверствия. В этой области $E_{r}$ мало и растёт с $r$, на оси радиальная компонента равна 0: $E_{r}(0,z)=0$. При таких допущениях $E_{r}$ можна разложить по $r$:

$$E_{r}(r,z)=\alpha(z)\cdot r+O(r^{2})\Longrightarrow E_{r}(r,z)\approx \alpha(z)\cdot r$$

Домножим на $r$:

$$rE_{r}= \alpha(z)\cdot r^{2}$$

Продифференцируем:

$$\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)\cdot r$$

Отсюда:

$$\frac{1}{r}\frac{\partial (rE_{r})}{\partial r}=2\alpha(z)$$

Подставляем в уравнение Гаусса:

$$2\alpha(z)+\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0\Longrightarrow \alpha(z)=-\frac{1}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

Подставляем обратно в разложение радиальной компоненты:

$$E_{r}(r,z)=-\frac{r}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

Эта радиальная компонента поля создаёт силу, которая изменяет радиальный импульс электрона:

$$F_{r}=-eE_{r}=\frac{er}{2}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}$$

Изменение радиального импульса $\Delta p_{r}$ при полёте сквозь отверствие:

$$\Delta p_{r}=\int F_{r}dt=\int F_{r}\frac{dz}{\upsilon_{z}}=\int \frac{er}{2\upsilon_{z}}\frac{\partial E_{z}}{\partial z}dz$$

Поскольку отверствие считаю тонким, то величины $r$ и $\upsilon_{z}$ практически постоянны во время пролёта:

$$\Delta p_{r}\approx \frac{er}{2\upsilon_{z}}\int_{E_{1}}^{E_{2}} dE_{z}=\frac{er}{2\upsilon_{z}}\left( E_{2}-E_{1} \right) \tag{1}$$

Здесь $E_{1}$ - это значение напряжённости электрического поля до отверствия (в конденсаторе), а $E_{2}$ - значение напряжённости электрического поля после отверствия (вне конденсатора). В момент пролёта отверствия $r$ это будет радиус пучка электронов.

По определению фокусного расстояния, тангенс угла отклонения:

$$\tan\beta\approx \beta=\frac{r}{f}\Longrightarrow f=\frac{r}{\beta}$$

Угол отклонения считаю малым в связи с малостью радиуса пучка. Но с другой стороны:

$$\tan\beta\approx \beta=\frac{\upsilon_{r}}{\upsilon_{z}}=\frac{\Delta p_{r}}{p_{z}}$$

Тогда:

$$f=\frac{rp_{z}}{\Delta p_{r}} \tag{2}$$

Подставим (1) в (2) и учтём, что $p_{z}=m\upsilon_{z}$:

$$f=\frac{2\upsilon_{z}\cdot r\cdot m\upsilon_{z}}{er(E_{2}-E_{1})}=\frac{2m\upsilon_{z}^{2}}{e(E_{2}-E_{1})} \tag{3}$$

Согласно закону сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon_{z}^{2}}{2}=eU\Longrightarrow m\upsilon_{z}^{2}=2eU$$

Подставим в (3):

$$f=\frac{2\cdot 2eU}{e(E_{2}-E_{1})}=\frac{4U}{E_{2}-E_{1}} \tag{5}$$

В нашем случае поле вне конденсатора равно 0, значит $E_{2}=0$, а поле внутри конденсатора: $E_{1}=\frac{U}{d}$. Подставляя в (5), окончательно получим:

$$f=\frac{4U}{0-\frac{U}{d}}=-4d$$

Знак минус у $f$ означает, что происходит рассеяние электронов.

$\textbf{а.}$ Исходя из ответа подзадачи (б), видим, что фокусное расстояние этой линзы не зависит от разности потенциалов между обкладками. Но к этому выводу можна прийти и на качественном уровне.

Скорость электронов вдоль оси $z$ согласно закону сохранения $\upsilon_{z}\sim \sqrt{U}$, значит время пролёта сквозь отверствие, оно же есть временем действия силы отклонения электронов, обратно пропорцинально этой скорости: $\Delta t\sim \frac{1}{\upsilon_{z}}\sim \frac{1}{\sqrt{U}}$.

Сила, отклоняющая электроны: $F_{r}\sim E_{r}\sim U$, значит изменение скорости в направлении действия силы: $\Delta\upsilon_{r}\sim F_{r}\cdot \Delta t\sim U\cdot \frac{1}{\sqrt{U}}=\sqrt{U}$.

Фокусное расстояние:

$$f\sim \frac{\Delta\upsilon_{r}}{\upsilon_{z}}=\frac{\sqrt{U}}{\sqrt{U}}=const$$