Решение

Второй закон Ньютона для груза:
$$m\ddot{x} = -kx + \mu mg$$

Разделим на массу $m$, чтобы выразить ускорение:
$$\ddot{x} = -\frac{k}{m}x + \mu g$$

Введем замену переменной для приведения к уравнению гармонических колебаний вида $\ddot{\varphi} + \frac{k}{m}\varphi = 0$, откуда циклическая частота:
$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Общий вид решения для $\varphi$:
$$\varphi = A\cos(\omega t + \alpha)$$

Возвращаясь к переменной $x$, получаем:
$$\frac{k}{m}x - \mu g = A\cos(\omega t + \alpha)$$

Возьмем производную по времени для нахождения скорости $\dot{x}$:
$$\frac{k}{m}\dot{x} = -A\omega\sin(\omega t + \alpha)$$

Известно, что начальная скорость равна нулю:
$$\dot{x}(0) = 0 \implies \sin\alpha = 0 \implies \alpha = 0$$

Также начальная координата равна нулю:
$$x(0) = 0$$

Подставим $t=0$, $\alpha=0$ и $x=0$ в уравнение для координаты:
$$\frac{k}{m}(0) - \mu g = A\cos(0) \implies A = -\mu g$$

Подставим найденные $A$ и $\alpha$ обратно в уравнение:
$$\frac{k}{m}x - \mu g = -\mu g \cos(\omega t)$$

Выразим координату $x$:
$$x = \frac{\mu mg}{k} - \frac{\mu mg}{k}\cos(\omega t)$$

Найдем зависимость скорости от времени (взяв производную):
$$\dot{x} = \frac{\mu mg}{k}\omega\sin(\omega t)$$

Максимальная скорость (амплитуда скорости $v$) достигается при $\sin(\omega t) = 1$:
$$v = \frac{\mu mg}{k} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \mu g \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Амплитуда колебаний $a$:
$$a = \frac{\mu mg}{k}$$