Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/6.3.39.md
+24 −3
| @@ -1,11 +1,32 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.3.39.$ | ||
| + | $6.3.39.$ Как изменится емкость уединенного проводника, если его размеры утроить? | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | sad | ||
| + | Потенциал $\phi$ в любой точке поверхности заряженного проводника определяется распределением зарядов по его объему или поверхности: | ||
| + | $$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{r} \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Пусть мы увеличили все линейные размеры проводника в $k$ раз, сохранив его форму и полный заряд $q$. В этом случае элементарный заряд $dq$ остается прежним, а расстояние $r$ от каждой точки заряда до точки наблюдения увеличивается в $k$ раз: | ||
| + | |||
| + | $$r_{2} = k \cdot r_{1} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим маштабированные значения в формулу (1): | ||
| + | |||
| + | $$\phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{k \cdot r_{1}}=\frac{1}{k} \cdot \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{r_{1}} \right)=\frac{\phi_{1}}{k} \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Таким образом, при увеличении размеров в 3 раза потенциал проводника уменьшается в 3 раза. | ||
| + | |||
| + | По определению емкости $C=\frac{q}{\phi}$: | ||
| + | |||
| + | $$C_{2}=\frac{q}{\phi_{2}}=\frac{q}{\frac{\phi_{1}}{k}}=k \cdot \frac{q}{\phi_{1}} = k \cdot C_{1} \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | При $k=3$ получаем: | ||
| + | |||
| + | $$C_{2}=3C_{1}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | Увеличится в три раза. | ||
| @@ -1,11 +1,32 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.39.$ |
$6.3.39.$ Как изменится емкость уединенного проводника, если его размеры утроить? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sad | Потенциал $\phi$ в любой точке поверхности заряженного проводника определяется распределением зарядов по его объему или поверхности: | ||
| $$\phi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{r} \tag{1}$$ | |||
| Пусть мы увеличили все линейные размеры проводника в $k$ раз, сохранив его форму и полный заряд $q$. В этом случае элементарный заряд $dq$ остается прежним, а расстояние $r$ от каждой точки заряда до точки наблюдения увеличивается в $k$ раз: | |||
| $$r_{2} = k \cdot r_{1} \tag{2}$$ | |||
| Подставим маштабированные значения в формулу (1): | |||
| $$\phi_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{k \cdot r_{1}}=\frac{1}{k} \cdot \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{dq}{r_{1}} \right)=\frac{\phi_{1}}{k} \tag{3}$$ | |||
| Таким образом, при увеличении размеров в 3 раза потенциал проводника уменьшается в 3 раза. | |||
| По определению емкости $C=\frac{q}{\phi}$: | |||
| $$C_{2}=\frac{q}{\phi_{2}}=\frac{q}{\frac{\phi_{1}}{k}}=k \cdot \frac{q}{\phi_{1}} = k \cdot C_{1} \tag{4}$$ | |||
| При $k=3$ получаем: | |||
| $$C_{2}=3C_{1}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| Увеличится в три раза. | |||