Решение

Сначала представим себе патрон. Схематический рисунок приведён внизу. Для нас самое главное, что он состоит из двух составных частей: пули и гильзы. Пуля вставлена в гильзу.

Именно эти части во время сжигания пороха в костре разлетаются в разные стороны.

Решим задачу двумя способами: материаловедческий и баллистический.

Материаловедческий способ.

Порох сжигается в гильзе, при этом образуются газы. Рассматриваем гильзу как тонкостенный цилиндр с диаметром $d$, толщиной стенок $\delta$ и длиной $L_{г}$. Толщина стенки $\delta\ll d$.

Газы сжигания давят во все стороны равномерно, пытаясь разорвать гильзу. Механические напряжения, возникающие в стенках гильзы, равномерны по толщине. На рисунке внизу схематически представлены силы действующие по всей длине гильзы на одну из половин цилиндра:

Давление действует на внутреннюю поверхность. Нас интересует результирующая сила, разрывающая цилиндр пополам. Результирующая проекция силы давления на плоскость разреза равна давлению, умноженному на проекцию площади:

$$F_{рез}=P\cdot L_{г}d$$

С двух сторон разреза действуют силы натяжения стенки. Если обозначить механическое напряжение $\sigma$, тогда сила натяжения стенки гильзы:

$$F_{1}=\sigma\cdot L_{г}\delta$$

Условие равновесия:

$$F_{рез}=2F_{1}$$
$$P\cdot L_{г}d=2\sigma\cdot L_{г}\delta\Longrightarrow P=\frac{2\sigma\delta}{d}$$

При нагреве в костре материал тонкостенной оболочки гильзы начинает пластически деформироваться. Появляются локальные раздутия, утончения стенок, сцепление пули со стенками гильзы практически исчезает. Поэтому критическим давлением, когда пуля начнёт выходить из гильзы, будет:

$$P_{кр}=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}$$

где $\sigma_{тек}$ - предел текучести материала гильзы.

При сжигании пороха давление быстро достигает значения $P_{кр}$ и работу газов можно считать оценочно, как при изобарическом процессе:

$$A=\int PdV\approx P_{кр}\cdot \Delta V$$

Изменение объёма:

$$\Delta V=S\cdot \Delta x$$

где $S=\frac{\pi d^{2}}{4}$ - площадь торца пули (при $\delta\ll d$ можно считать площадь торца пули такая же как площадь поперечного сечения гильзы); $\Delta x=L_{г}+L_{п}-L_{пат}$ - ход пули в гильзе. $L_{п}$ - длина пули, $L_{пат}$ - длина патрона.

Тогда работу газов можна записать:

$$A=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{1}$$

Работа газов приводит к разлёту пули и гильзы в костре. Считаем, что пуля и гильза разлетаются вдоль одной горизонтальной прямой. Запишем закон сохранения импульса с учётом того, что патрон в костре вначале покоился:

$$p_{п}=p_{г}\Longleftrightarrow m_{п}\upsilon_{п}=m_{г}\upsilon_{г}$$

где $m_{п}$ - масса пули, $m_{г}$ - масса гильзы.

Работа газов идёт в кинетические энергии пули и гильзы:

$$A=\frac{p_{п}^{2}}{2m_{п}}+\frac{p_{г}^{2}}{2m_{г}}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\left( \frac{1}{m_{п}}+\frac{1}{m_{г}} \right)=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{2}$$

Приравняем (1) и (2):

$$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$

Отсюда импульс пули:

$$p_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$

Окончательно скорость пули:

$$\boxed{\upsilon_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}$$

Численные расчёты я приведу ниже.

Баллистический способ.

Суть баллистического способа в том, чтобы сравнить скорости вылета пули из костра со скоростью вылета пули из ствола ружья.

В ружье работа пороховых газов:

$$A_{руж}\approx FL_{ст}$$

где $L_{ст}$ - длина разгона пули в стволе.

Поскольку гильза в ружье не двигается и без учёта отдачи ружья, то вся эта энергия передаётся в кинетическую энергию пули при вылете из ствола:

$$A_{руж}\approx\frac{m_{п}V_{п}^{2}}{2}\Longrightarrow V_{п}=\sqrt{\frac{2A_{руж}}{m_{п}}}=\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}} \tag{3}$$

Полагая силу давления пороховых газов $F$ приблизительно постоянной и одинаковой как для случая ружья, так и для случая костра, то работа газов в костре будет:

$$A_{кос}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{4}$$

Но из решения материаловедческого способа, я уже нашёл, что:

$$A_{кос}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{5}$$

Приравняем (4) и (5):

$$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$

Отсюда импульс пули в костре:

$$p_{п}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$

Скорость пули в костре:

$$\upsilon_{п}=\frac{p_{п}}{m_{п}}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})} \tag{6}$$

Разделим (6) на (3):

$$\frac{\upsilon_{п}}{V_{п}}=\frac{\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}{\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}}}$$

Окончательно получим:

$$\boxed{\upsilon_{п}=V_{п}\sqrt{\frac{m_{г}}{(m_{п}+m_{г})}\cdot\frac{(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}{L_{ст}}}}$$

напомню $V_{п}$ - это скорость вылета пули из ствола ружья.

Расчётная часть.

Продолжение следует.....