| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $5.6.8.$ Оцените скорость вылета пули из патрона, брошенного в костер. | | $5.6.8.$ Оцените скорость вылета пули из патрона, брошенного в костер. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Сначала представим себе патрон. Схематический рисунок приведён внизу. Для нас самое главное, что он состоит из двух составных частей: пули и гильзы. Пуля вставлена в гильзу. | | Сначала представим себе патрон. Схематический рисунок приведён внизу. Для нас самое главное, что он состоит из двух составных частей: пули и гильзы. Пуля вставлена в гильзу. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Именно эти части во время сжигания пороха в костре разлетаются в разные стороны. | | Именно эти части во время сжигания пороха в костре разлетаются в разные стороны. |
| | | |
| Решим задачу двумя способами: материаловедческий и баллистический. | | Решим задачу двумя способами: материаловедческий и баллистический. |
| | | |
| #### Материаловедческий способ. | | #### Материаловедческий способ. |
| | | |
| Порох сжигается в гильзе, при этом образуются газы. Рассматриваем гильзу как тонкостенный цилиндр с диаметром $d$, толщиной стенок $\delta$ и длиной $L_{г}$. Толщина стенки $\delta\ll d$. | | Порох сжигается в гильзе, при этом образуются газы. Рассматриваем гильзу как тонкостенный цилиндр с диаметром $d$, толщиной стенок $\delta$ и длиной $L_{г}$. Толщина стенки $\delta\ll d$. |
| | | |
| Газы сжигания давят во все стороны равномерно, пытаясь разорвать гильзу. Механические напряжения, возникающие в стенках гильзы, равномерны по толщине. На рисунке внизу схематически представлены силы действующие по всей длине гильзы на одну из половин цилиндра: | | Газы сжигания давят во все стороны равномерно, пытаясь разорвать гильзу. Механические напряжения, возникающие в стенках гильзы, равномерны по толщине. На рисунке внизу схематически представлены силы действующие по всей длине гильзы на одну из половин цилиндра: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Давление действует на внутреннюю поверхность. Нас интересует результирующая сила, разрывающая цилиндр пополам. Результирующая проекция силы давления на плоскость разреза равна давлению, умноженному на проекцию площади: | | Давление действует на внутреннюю поверхность. Нас интересует результирующая сила, разрывающая цилиндр пополам. Результирующая проекция силы давления на плоскость разреза равна давлению, умноженному на проекцию площади: |
| | | |
| $$F_{рез}=P\cdot L_{г}d$$ | | $$F_{рез}=P\cdot L_{г}d$$ |
| | | |
| С двух сторон разреза действуют силы натяжения стенки. Если обозначить механическое напряжение $\sigma$, тогда сила натяжения стенки гильзы: | | С двух сторон разреза действуют силы натяжения стенки. Если обозначить механическое напряжение $\sigma$, тогда сила натяжения стенки гильзы: |
| | | |
| $$F_{1}=\sigma\cdot L_{г}\delta$$ | | $$F_{1}=\sigma\cdot L_{г}\delta$$ |
| | | |
| Условие равновесия: | | Условие равновесия: |
| | | |
| $$F_{рез}=2F_{1}$$ | | $$F_{рез}=2F_{1}$$ |
| $$P\cdot L_{г}d=2\sigma\cdot L_{г}\delta\Longrightarrow P=\frac{2\sigma\delta}{d}$$ | | $$P\cdot L_{г}d=2\sigma\cdot L_{г}\delta\Longrightarrow P=\frac{2\sigma\delta}{d}$$ |
| | | |
| При нагреве в костре материал тонкостенной оболочки гильзы начинает пластически деформироваться. Появляются локальные раздутия, утончения стенок, сцепление пули со стенками гильзы практически исчезает. Поэтому критическим давлением, когда пуля начнёт выходить из гильзы, будет: | | При нагреве в костре материал тонкостенной оболочки гильзы начинает пластически деформироваться. Появляются локальные раздутия, утончения стенок, сцепление пули со стенками гильзы практически исчезает. Поэтому критическим давлением, когда пуля начнёт выходить из гильзы, будет: |
| | | |
| $$P_{кр}=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}$$ | | $$P_{кр}=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}$$ |
| | | |
| где $\sigma_{тек}$ - предел текучести материала гильзы. | | где $\sigma_{тек}$ - предел текучести материала гильзы. |
| | | |
| При сжигании пороха давление быстро достигает значения $P_{кр}$ и работу газов можно считать оценочно, как при изобарическом процессе: | | При сжигании пороха давление быстро достигает значения $P_{кр}$ и работу газов можно считать оценочно, как при изобарическом процессе: |
| | | |
| $$A=\int PdV\approx P_{кр}\cdot \Delta V$$ | | $$A=\int PdV\approx P_{кр}\cdot \Delta V$$ |
| | | |
| Изменение объёма: | | Изменение объёма: |
| | | |
| $$\Delta V=S\cdot \Delta x$$ | | $$\Delta V=S\cdot \Delta x$$ |
| | | |
| где $S=\frac{\pi d^{2}}{4}$ - площадь торца пули (при $\delta\ll d$ можно считать площадь торца пули такая же как площадь поперечного сечения гильзы); $\Delta x=L_{г}+L_{п}-L_{пат}$ - ход пули в гильзе. $L_{п}$ - длина пули, $L_{пат}$ - длина патрона. | | где $S=\frac{\pi d^{2}}{4}$ - площадь торца пули (при $\delta\ll d$ можно считать площадь торца пули такая же как площадь поперечного сечения гильзы); $\Delta x=L_{г}+L_{п}-L_{пат}$ - ход пули в гильзе. $L_{п}$ - длина пули, $L_{пат}$ - длина патрона. |
| | | |
| Тогда работу газов можна записать: | | Тогда работу газов можна записать: |
| | | |
| $$A=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{1}$$ | | $$A=\frac{2\delta\sigma_{тек}}{d}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{1}$$ |
| | | |
| Работа газов приводит к разлёту пули и гильзы в костре. Считаем, что пуля и гильза разлетаются вдоль одной горизонтальной прямой. Запишем закон сохранения импульса с учётом того, что патрон в костре вначале покоился: | | Работа газов приводит к разлёту пули и гильзы в костре. Считаем, что пуля и гильза разлетаются вдоль одной горизонтальной прямой. Запишем закон сохранения импульса с учётом того, что патрон в костре вначале покоился: |
| | | |
| $$p_{п}=p_{г}\Longleftrightarrow m_{п}\upsilon_{п}=m_{г}\upsilon_{г}$$ | | $$p_{п}=p_{г}\Longleftrightarrow m_{п}\upsilon_{п}=m_{г}\upsilon_{г}$$ |
| | | |
| где $m_{п}$ - масса пули, $m_{г}$ - масса гильзы. | | где $m_{п}$ - масса пули, $m_{г}$ - масса гильзы. |
| | | |
| Работа газов идёт в кинетические энергии пули и гильзы: | | Работа газов идёт в кинетические энергии пули и гильзы: |
| | | |
| $$A=\frac{p_{п}^{2}}{2m_{п}}+\frac{p_{г}^{2}}{2m_{г}}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\left( \frac{1}{m_{п}}+\frac{1}{m_{г}} \right)=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{2}$$ | | $$A=\frac{p_{п}^{2}}{2m_{п}}+\frac{p_{г}^{2}}{2m_{г}}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\left( \frac{1}{m_{п}}+\frac{1}{m_{г}} \right)=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{2}$$ |
| | | |
| Приравняем (1) и (2): | | Приравняем (1) и (2): |
| | | |
| $$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$ | | $$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=\frac{\pi\delta d\sigma_{тек}}{2}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$ |
| | | |
| Отсюда импульс пули: | | Отсюда импульс пули: |
| | | |
| $$p_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$ | | $$p_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$ |
| | | |
| Окончательно скорость пули: | | Окончательно скорость пули: |
| | | |
| $$\boxed{\upsilon_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}$$ | | $$\boxed{\upsilon_{п}=\sqrt{\pi\delta d\sigma_{тек}\cdot\frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}\cdot(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}$$ |
| | | |
| Численные расчёты я приведу ниже. | | Численные расчёты я приведу ниже. |
| | | |
| #### Баллистический способ. | | #### Баллистический способ. |
| | | |
| Суть баллистического способа в том, чтобы сравнить скорости вылета пули из костра со скоростью вылета пули из ствола ружья. | | Суть баллистического способа в том, чтобы сравнить скорости вылета пули из костра со скоростью вылета пули из ствола ружья. |
| | | |
| В ружье работа пороховых газов: | | В ружье работа пороховых газов: |
| | | |
| $$A_{руж}\approx FL_{ст}$$ | | $$A_{руж}\approx FL_{ст}$$ |
| | | |
| где $L_{ст}$ - длина разгона пули в стволе. | | где $L_{ст}$ - длина разгона пули в стволе. |
| | | |
| Поскольку гильза в ружье не двигается и без учёта отдачи ружья, то вся эта энергия передаётся в кинетическую энергию пули при вылете из ствола: | | Поскольку гильза в ружье не двигается и без учёта отдачи ружья, то вся эта энергия передаётся в кинетическую энергию пули при вылете из ствола: |
| | | |
| $$A_{руж}\approx\frac{m_{п}V_{п}^{2}}{2}\Longrightarrow V_{п}=\sqrt{\frac{2A_{руж}}{m_{п}}}=\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}} \tag{3}$$ | | $$A_{руж}\approx\frac{m_{п}V_{п}^{2}}{2}\Longrightarrow V_{п}=\sqrt{\frac{2A_{руж}}{m_{п}}}=\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}} \tag{3}$$ |
| | | |
| Полагая силу давления пороховых газов $F$ приблизительно постоянной и одинаковой как для случая ружья, так и для случая костра, то работа газов в костре будет: | | Полагая силу давления пороховых газов $F$ приблизительно постоянной и одинаковой как для случая ружья, так и для случая костра, то работа газов в костре будет: |
| | | |
| $$A_{кос}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{4}$$ | | $$A_{кос}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат}) \tag{4}$$ |
| | | |
| Но из решения материаловедческого способа, я уже нашёл, что: | | Но из решения материаловедческого способа, я уже нашёл, что: |
| | | |
| $$A_{кос}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{5}$$ | | $$A_{кос}=\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}} \tag{5}$$ |
| | | |
| Приравняем (4) и (5): | | Приравняем (4) и (5): |
| | | |
| $$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$ | | $$\frac{p_{п}^{2}}{2}\cdot \frac{m_{п}+m_{г}}{m_{п}m_{г}}=F(L_{г}+L_{п}-L_{пат})$$ |
| | | |
| Отсюда импульс пули в костре: | | Отсюда импульс пули в костре: |
| | | |
| $$p_{п}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$ | | $$p_{п}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{п}m_{г}}{m_{п}+m_{г}}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}$$ |
| | | |
| Скорость пули в костре: | | Скорость пули в костре: |
| | | |
| $$\upsilon_{п}=\frac{p_{п}}{m_{п}}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})} \tag{6}$$ | | $$\upsilon_{п}=\frac{p_{п}}{m_{п}}=\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})} \tag{6}$$ |
| | | |
| Разделим (6) на (3): | | Разделим (6) на (3): |
| | | |
| $$\frac{\upsilon_{п}}{V_{п}}=\frac{\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}{\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}}}$$ | | $$\frac{\upsilon_{п}}{V_{п}}=\frac{\sqrt{2F\cdot \frac{m_{г}}{m_{п}(m_{п}+m_{г})}(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}}{\sqrt{\frac{2FL_{ст}}{m_{п}}}}$$ |
| | | |
| Окончательно получим: | | Окончательно получим: |
| | | |
| $$\boxed{\upsilon_{п}=V_{п}\sqrt{\frac{m_{г}}{(m_{п}+m_{г})}\cdot\frac{(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}{L_{ст}}}}$$ | | $$\boxed{\upsilon_{п}=V_{п}\sqrt{\frac{m_{г}}{(m_{п}+m_{г})}\cdot\frac{(L_{г}+L_{п}-L_{пат})}{L_{ст}}}}$$ |
| | | |
| напомню $V_{п}$ - это скорость вылета пули из ствола ружья. | | напомню $V_{п}$ - это скорость вылета пули из ствола ружья. |
| | | |
