Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #17906 parent #17905 ← older
ru/2.3.40.md +44 −2
@@ -1,11 +1,53 @@
### Условие
−$2.3.40.$ [Вставьте условие задачи]
+$2.3.40.$ Потенциальная энергия взаимодействия частицы с неподвижным точечным источником $U=V(l^{2}/r^{2}−2l/r)$, где $r$ — расстояние между частицей и источником, $V$ и $l$ — положительные постоянные величины, имеющие размерность энергии и расстояния соответственно. В какой области происходит прямолинейное движение частицы, если полная энергия системы равна $E$ ?
### Решение
+У нас потенциал центральный, то есть зависит только от $r$. Поэтому движение частицы происходит по прямой только при нулевом моменте импульса $L=0$, когда нет орбитального вращения.
+Полная энергия частицы:
+$$E=\frac{m\dot r^2}{2}+U(r)$$
+
+Движение возможно там, где кинетическая энергия неотрицательна:
+
+$$E-U(r)\ge 0$$
+
+Подставим $U(r)$:
+
+$$E\ge V\left(\frac{l^{2}}{r^{2}}-\frac{2l}{r}\right)$$
+
+Перепишем:
+
+$$\frac{Vl^{2}}{r^{2}}-\frac{2Vl}{r} -E\le 0$$
+
+Или:
+
+$$Er^{2}+2Vlr-Vl^{2}\ge 0$$
+
+Найдём корни квадратного неравенства:
+
+$$r_{1,2}=\frac{-2Vl \pm \sqrt{4V^{2}l^{2}+4EVl^{2}}}{2E}
+=\frac{l(-V\pm \sqrt{V(V+E)})}{E}=l\frac{V}{E}\left(-1\pm \sqrt{1+\frac{E}{V}} \right)$$
+
+При $E\gt 0$ один корень отрицательный, другой положительный:
+
+$$r_{\min} = l\frac{V}{E}\left(-1+\sqrt{1+\frac{E}{V}} \right)\gt 0$$
+
+Движение возможно при $r\ge r_{\min}$, то есть частица приходит из бесконечности, отражается и уходит обратно.
+
+При $E\lt 0$ оба корня положительны. Движение возможно при
+
+$$r_{1}\le r\le r_{2}$$
+
+Это ограниченное движение колебаний частицы в потенциальной яме.
+
+При $E\lt -V$ дискриминант уравнения меньше 0 - движение невозможно.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+При $E\gt 0$ область движения $r\ge l\frac{V}{E}\left( -1+\sqrt{1+\frac{E}{V}} \right)$
+
+При $E\lt 0$ $r$ между $r_{1,2}=l\frac{V}{E}\left( -1\pm \sqrt{1+ \frac{E}{V}} \right)$