Решение

Проводящая пластина с зарядом $Q$ образует с двумя заземленными пластинами два параллельно соединенных конденсатора. Емкости этих конденсаторов:

$$C_{1}=\frac{\varepsilon_{0}S}{a}, \quad C_{2}=\frac{\varepsilon_{0}S}{b}$$

Общая емкость системы:

$$C=C_{1}+C_{2}=\varepsilon_{0}S \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)=\frac{\varepsilon_{0} S(a+b)}{ab}$$

Начальная энергия электрического поля системы при фиксированном заряде $Q$:

$$W_{1}=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{Q^{2}ab}{2\varepsilon_{0}S(a+b)}$$

Работа внешних сил $A$ равна изменению энергии системы при перемещении пластины. Конечная энергия:

$$W_{2}=\frac{Q^{2}ab}{2\varepsilon_{0}\left( \frac{S}{2} \right)(a+b)}=\frac{Q^{2}ab}{\varepsilon_{0}S(a+b)}$$

Работа $A=W_{2}-W_{1}$:

$$A=\frac{Q^{2}ab}{\varepsilon_{0}S(a+b)}-\frac{Q^{2}ab}{2\varepsilon_{0}S(a+b)}=\frac{Q^{2}ab}{2\varepsilon_{0}S(a+b)}$$