Решение

Пункт a

Пусть до сообщения перпендикулярной скорости движение было вдоль оси $x$. После сообщения скорости добавляется колебание по перпендикулярной оси $y$. Можно считать, что результирующее движение есть наложение колебаний вдоль этих осей. Частоты накладывающихся колебаний равны.

После сообщение указанной скорости можем записать

$$x=A\cos\omega t, \quad y=B\sin\omega t,$$

где $\omega$ есть частота колебаний по каждой оси, $B$ есть амплитуда колебаний по оси $y$.

Выделяем косинус и синус в этих формулах, возводим в квадрат, складываем уравнения и по основному тригонометрическомй тождеству $\cos^2\alpha+\sin^2\beta=1$ получаем

$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1.$$

Это — уравнение эллипса.

Амплитуда скорости по оси $y$ равна $v=\omega B$, так что

$$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{(v/\omega)^2}=1.$$

Итак, полуоси эллипса равны $A$ и $v/\omega$.

Центр эллипса в центре системы координат $xy$, поэтому расстояние меняется от $v/\omega$ до $A$.

Пункт б$^*$

В этом случае после сообщения скорости движение по оси $y$ описываем так же:

$$y=B\sin\omega t.$$

А вот движение по оси $x$ получает некоторую начальную фазу $\varphi$.

$$x=A\sin\left(\omega t+\varphi\right).$$

Будем преобразовывать уравнение движения по оси $x$. Раскроем синус суммы [1]:

$$x=A\left(\sin\omega t\cos\varphi+\cos\omega t\sin\varphi\right)$$

Заметим, что $\chi=A\sin\varphi$:

$$x=A\cos\varphi\sin\omega t+\chi\cos\omega t.$$

Далее, $\cos\varphi=\sqrt{1-\sin^2\varphi}$, так что, внося $A$ под корень и вспоминая предыдущее, пишем

$$\sqrt{A^2-\chi^2}\sin\omega t+\chi\cos\omega t.$$