Решение

Задачу буду решать в системе СГС. Обозначим $K^{'}$ - система отсчёта связанная с движущимся конденсатором, а $K$ - лабораторная система.

Поверхностная плотность заряда на пластинах в системе $K$:

$$\sigma=\frac{Q}{S}$$

При переходе в систему $K^{'}$ полный заряд не изменяется, он есть инвариантом. Изменяется длина конденсатора вдоль направления скорости движения:

$$l^{'}=l\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}=l\sqrt{1-\frac{\beta^{2}c^{2}}{c^{2}}}=l\sqrt{1-\beta^{2}}=\frac{l}{\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}}=\frac{l}{\gamma}$$

где $\gamma$ - фактор Лоренца. Тогда изменение площади пластин будет:

$$S^{'}=\frac{S}{\gamma}$$

Поверхностная плотность заряда в системе $K^{'}$ будет:

$$\sigma^{'}=\frac{Q}{S^{'}}=\gamma\frac{Q}{S}=\gamma\sigma$$

Итак, поверхностная плотность заряда увеличится в $\gamma$ раз.

Для произвольного направления скорости $\vec\upsilon$ преобразования Лоренца для полей можно записать в векторной форме, разделив поля на компоненты параллельные и перпендикулярные к скорости:

$$\vec E_{\parallel }^{'}=\vec E_{\parallel }, \quad \vec B_{\parallel }^{'}=\vec B_{\parallel }$$
$$\vec E_{\bot }^{'}=\gamma\left( \vec E_{\bot }+\frac{1}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right]_{\bot } \right), \quad \vec B_{\bot }^{'}=\gamma\left( \vec B_{\bot }-\frac{1}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec E \right]_{\bot } \right)$$

В системе $K$ магнитного поля нет, поэтому $\vec B_{\parallel }=0$ и $\vec B_{\bot }=0$. Электрическое поле перпендикулярно скорости, поэтому $\vec E_{\parallel }=0$, а $\vec E_{\bot }=E$. Тогда:

$$\vec E_{\parallel }^{'}=0, \quad \vec B_{\parallel }^{'}=0$$
$$\vec E_{\bot }^{'}=\gamma E, \quad \vec B_{\bot }^{'}=\gamma\frac{\upsilon E}{c}=\gamma\beta E$$