Решение

Из изображения мы имеем уравнение для полной кинетической энергии $E$ системы массой $M$:

$$E = \frac{1}{2} \int_0^M v_{cm}^2 \, dm$$

где $v_{cm}$ — скорость каждого элемента массы системы относительно центра масс. Этот интеграл даёт полную кинетическую энергию движущейся системы.

Для данной системы, если все элементы движутся с одной и той же скоростью $v_{cm}$, равной скорости центра масс, выражение можно упростить. На изображении указано:

$$v_A = v_B = v_C = v_{cm}$$

Это означает, что все точки системы движутся с одинаковой скоростью, а именно со скоростью центра масс $v_{cm}$. Следовательно, полная кинетическая энергия равна:

$$E = \frac{M v_{cm}^2}{2}$$

Теперь нужно доказать, что приращение энергии движения центра масс равно работе суммарной внешней силы, если считать, что точка её приложения находится в центре масс.

Пусть $F_{\text{ext}}$ — полная внешняя сила, действующая на систему.

Работа $W$, совершаемая этой внешней силой при перемещении центра масс на $d r_{cm}$, равна:

$$W = F_{\text{ext}} \cdot d r_{cm}$$

Согласно второму закону Ньютона,

$$F_{\text{ext}} = M a_{cm},$$

где $a_{cm}$ — ускорение центра масс.

Работа связана с изменением кинетической энергии центра масс согласно теореме о работе и энергии. Кинетическая энергия центра масс:

$$E_{cm} = \frac{1}{2} M v_{cm}^2$$

Приращение этой энергии:

$$dE_{cm} = M v_{cm} \, dv_{cm}$$

Используя соотношение

$$F_{\text{ext}} = M a_{cm}$$

и связь

$$a_{cm} \, dt = dv_{cm},$$

работа внешней силы принимает вид:

$$F_{\text{ext}} \cdot d r_{cm} = M a_{cm} \, d r_{cm} = M v_{cm} \, dv_{cm}$$

Следовательно, приращение энергии движения центра масс $dE_{cm}$ равно работе внешней силы:

$$dE_{cm} = F_{\text{ext}} \cdot d r_{cm}$$

Таким образом, доказано, что приращение энергии движения центра масс равно работе суммарной внешней силы, если считать, что точка приложения силы совпадает с центром масс.