Edits to “Условие”, “Решение”, “Первый участок”

gfernandez edited
View solution History
revision #18119 parent #18118 ← older newer →
ru/5.6.26.md +151 −2
@@ -1,11 +1,160 @@
### Условие
−$5.6.26.$ [Вставьте условие задачи]
+$5.6.26.$
+![|1322x288, 60%](../../img/5.6.26/5_6_26_problem_statement_1.png)
+![For problem $5.6.26$|522x312, 50%](../../img/5.6.26/5_6_26_problem_statement_2.png)
+
### Решение
+По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$.
+
+#### Первый участок
+
+Рассмотрим силы, действующие на поршень.
+
+$$\vec{F}_{газа} + \vec{F}_{трения} + \vec{F}_{атм} = 0$$
+
+Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим:
+
+$$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм} $$
+
+$$ pS = F + p_0 S $$
+
+$$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$
+
+Это давление, необходимое для начала движения поршня.
+
+В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный):
+
+$$ \frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T} $$
+
+Тогда можно найти температуру начала движения поршня:
+
+$$ T = T_0 \frac{p}{p_0} = T_0 \frac{p_0 + \frac{F}{S}}{p_0} = T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right)$$
+
+Так как вначале процесс изохорный, работа в нём не совершается. По первому закону термодинамики:
+
+$$ Q = A' + \Delta U = \Delta U $$
+
+Зная зависимость внутренней энергии газа от температуры $U = cT$:
+
+$$ Q = \Delta U = U_1 - U_0 = cT - cT_0 $$
+
+Окончательно:
+
+$$T = T_0 + \frac{Q}{c}, \quad Q\le Q_1$$
+
+Здесь Q_1 - количество теплоты, переданное газу до начала движения поршня:
+
+$$Q_1 = c(T - T_0) = c\left(T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) - T_0\right) = \frac{cT_0F}{p_0S}$$
+
+#### Второй участок
+
+На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём:
+
+$$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$
+
+Количество теплоты, переданное газу от спирали складывается из двух частей - переданного до начала движения поршня Q1 и переданного после этого Q2:
+
+$$Q = Q_1 + Q_2$$
+
+Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так:
+
+$$Q_2 + Q_{тр} = A' + \Delta U$$
+
+
+Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$:
+
+$$ A_{тр} = F x $$
+
+Изменение объема газа на этом перемещении:
+
+$$ \Delta V = xS $$
+
+А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа:
+
+$$ \Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$
+
+Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом:
+
+$$ x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S} \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
+
+И тогда работа трения:
+
+$$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$
+
+Половина этой энергии возвращается в газ:
+
+$$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$
+
+Работа газа в изобарном процессе:
+
+$$ A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$
+
+Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше:
+
+$$ \Delta U = c \Delta T $$
+
+Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа:
+
+$$ Q_2 + \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)} = \nu R \Delta T + c \Delta T $$
+
+Преобразуем:
+
+$$Q_2 = \Delta T \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right) $$
+
+Изменение температуры отсчитываем с момента начала движения поршня:
+
+$$ \Delta T = T - T_1 = T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) $$
+
+Количество теплоты, переданное газу после начала движения поршня от спирали:
+
+$$ Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{cT_0F}{p_0S} $$
+
+Получаем:
+
+$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$
+
+$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 - \frac{T_0 F}{p_0S} \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$
+
+Раскроем скобки:
+
+$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \nu R T - \nu R T_0 - \frac{\nu R T_0 F}{p_0S} + cT - cT_0 -\frac{cT_0F}{p_0S} - \frac{T F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F^2 \nu R}{2p_0S(p_0 S + F)}$$
+
+Сократим подобные:
+
+$$ Q=\nu RT-\nu RT_0-\frac{\nu RT_0F}{p_0S}+cT-cT_0-\frac{TF\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}$$
+
+Соберем множители при $T$ и $T_0$:
+
+$$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R + c + \frac{\nu RF}{p_0S} - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)} - \frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}\right) $$
+
+Преобразуем два последних слагаемых в последней скобке:
+
+$$-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}-\frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\left(1+\frac{F}{p_0S}\right) = $$
+
+$$=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\cdot\frac{p_0S+F}{p_0S}=-\frac{F\nu R}{2p_0S}$$
+
+Тогда вся скобка:
+
+$$\nu R+c+\frac{\nu RF}{p_0S}-\frac{F\nu R}{2p_0S} = \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}$$
+
+И выражение теперь выглядит так:
+
+$$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right) $$
+
+Тогда, выражая $T$:
+
+$$T=\frac{Q+T_0\left(\nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right)}{\nu R+c-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}}$$
+
+Подставив $\nu = 1$ получаем ответ для $Q \ge Q_1$
+
+$$T=\frac{Q+T_0\left(R+c+\frac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\frac{FR}{2(p_0S+F)}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+
+$$T=\left[\begin{array}{ll}T_0+\dfrac{Q}{c}, & Q\le Q_1, \\\ \dfrac{Q+T_0\left(R+c+\dfrac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\dfrac{FR}{2(p_0S+F)}}, & Q\ge Q_1.\end{array}\right]$$