Решение

Один цикл работы насоса - процесс достаточно быстрый, чтобы считать его близким к адиабатному, то есть процессу без теплообмена с окружающей средой.

Согласно первому закону термодинамики:

$$Q = A' + \Delta U$$

Считаем $Q=0$, а значит $$\Delta U = -A'$$

$A'$ - работа газа, $A$ - работа над газом, они связаны соотношением:

$$A' = -A$$

Значит:

$$A = \Delta U$$

В насосе над газом совершается работа внешними силами. Значит $A>0$ и из равенства выше следует, что $\Delta U > 0$.

Для идеального газа (который неплохо описывает воздух) $\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T$.

Число степеней свободы $i$, количество вещества $\nu$ и универсальная газовая постоянная $R$ положительные. Значит $\Delta T > 0$, то есть газ нагревается, потому что над ним совершается работа в условиях отсутствия теплообмена с окружающей средой.