Решение

Разместим начало координат системы отсчёта в центре шара. Наша частица будет иметь координату $x=0$. Поскольку частица имеет заряд $q$, она будет индуцировать на внутренней поверхности полости заряд $-q$, а на внешней поверхности шара индуцируется заряд $+q$.

Потенциал в центре полости, создаваемый индуцированными зарядами:

$$\varphi_{инд}(0)=-\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

Электростатическая энергия взаимодействия заряда с проводником:

$$U(0)=\frac{1}{2}q\varphi_{инд}(0)=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$

В конечном состоянии $x=\infty$ индуцированные заряды на шаре исчезают, энергия взаимодействия равна нулю. Так как нас просят найти минимальную скорость, то на бесконечности скоорость частицы равна 0. Запишим закон сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}+U(0)=U(\infty)$$
$$\frac{m\upsilon^{2}}{2}+\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}=0$$

Отсюда:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}m}\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R} \right)}$$