Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited
View solution History
revision #18228 parent #18227 ← older
ru/14.5.9.md +64 −3
@@ -1,11 +1,72 @@
### Условие
−$14.5.9.$ [Вставьте условие задачи]
+$14.5.9.$ Две частицы с массами $m_1$ и $m_2$ , летящие со скоростью $v_1$ и $v_2$ , направленными друг к другу под углом $\alpha$, сливаются в одну частицу. Определите массу $M$ и скорость $v$ образовавшейся частицы.
### Решение
−Две частицы с массами $m_1$ и $m_2$ , летящие со скоростью $v_1$ и $v_2$ , направленными друг к другу под углом $\alpha$, сливаются в одну частицу. Определите массу и скорость образовавшейся частицы.
+Сначала решим задачу в СТО, так как в условии не указано на необходимость приближений, а глава всё таки называется СТО...
+Гамма-фактор:
+$$
+\gamma(v)=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\tag{1}
+$$
+
+ЗСЭ:
+$$
+\gamma_1m_1c^2+\gamma_2m_2c^2=\gamma Mc^2
+$$
+или чуть упростив
+$$
+\gamma_1m_1+\gamma_2m_2=\gamma M\tag{2}
+$$
+Запишем ЗСИ по осям (одна сонаправлена с $v_1$, другая ей перпендикулярна). Пусть скорость итоговой частицы направлена под углом $\varphi$ к первой оси:
+$$
+\gamma_1 m_1 v_1+\gamma_2 m_2 v_2\cos\alpha=\gamma M v\cos\varphi\tag{3}
+$$
+$$
+\gamma_2 m_2 v_2\sin\alpha=\gamma M v\sin\varphi\tag{4}
+$$
+Записать законы сохранения в таких задачах несложно, самое важное - аккуратно и быстро решить получившуюся систему. Можно сделать так: возведем $(4)$ и $(5)$ в квадрат, сложим получившиеся выражения, используя основное тригонометрическое тождество избавимся от $\varphi$, подставим туда $\gamma M$ из $(3)$:
+$$
+(\gamma_1 m_1 v_1+\gamma_2 m_2 v_2\cos\alpha)^2+(\gamma_2 m_2 v_2\sin\alpha)^2=(\gamma_1m_1+\gamma_2m_2)^2v^2
+$$
+$$
+(\gamma_1 m_1 v_1)^2 +2\gamma_1\gamma_2m_1m_2 v_1v_2\cos\alpha+(\gamma_2 m_2 v_2)^2=(\gamma_1m_1+\gamma_2m_2)^2v^2
+$$
+$$
+v^2=\frac{(\gamma_1 m_1 v_1)^2 +2\gamma_1\gamma_2m_1m_2 v_1v_2\cos\alpha+(\gamma_2 m_2 v_2)^2}{(\gamma_1m_1+\gamma_2m_2)^2}
+$$
+$$
+v^2=\frac{(\gamma_1 m_1 v_1)^2 +2\gamma_1\gamma_2m_1m_2 v_1v_2\cos\alpha+(\gamma_2 m_2 v_2)^2}{(\gamma_1m_1+\gamma_2m_2)^2}\tag{5}
+$$
+Строго говоря это и есть ответ. Подставив $(5)$ в $(2)$, можно получить и массу.
+
+Но исходя из авторского ответа, предполагается что для всех скоростей $\gamma\approx 1$, тогда
+$$
+v=\frac{\sqrt{(m_1v_1)^2+(m_2v_2)^2+2m_1m_2v_1v_2\cos\alpha}}{m_1+m_2}\tag{6}
+$$
+$$
+M=m_1+m_2\tag{7}
+$$
+
+Если бы автор указал бы это в условии, можно было бы получить то же самое намного проще:
+$$
+M=m_1+m_2
+$$
+$$
+(m_1+m_1)\vec v=m_1\vec v_1+m_2\vec v_2
+$$
+Возведем в квадрат и воспользуемся правилами скалярного произведения:
+
+$$
+(m_1+m_1)^2 v^2=m_1^2v_1^2+m^2_2 v^2_2+2m_1m_2v_1v_2\cos\alpha
+$$
+и отсюда выразить ответ
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+M=m_1+m_2
+$$
+$$
+v=\frac{\sqrt{(m_1v_1)^2+(m_2v_2)^2+2m_1m_2v_1v_2\cos\alpha}}{m_1+m_2}
+$$