Решение

Важно, что Савченко считает массу мерой полной энергии - постоянство массы покоя протона никто не отменял

Пусть протоны сталкиваются встречно с одинаковыми по модулю скоростями (думаю, автор имел это ввиду). Тогда в лабораторной системе суммарный импульс равен нулю. Порог реакции достигается если все конечные частицы покоятся в системе центра масс - не надо "тратиться" на их разгон. Тогда ЗСЭ:

$$2mc^2=2m_pc^2+Mc^2\tag{1}$$
$$m=\left(1+\frac{k}{2}\right)m_p\tag{2}$$
Теперь вспомним, что масса у автора это мера полной энергии, или
$$mc^2=\gamma m_pc^2\tag{3}$$
Где $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}$. Тогда найдем скорость (естественно, минимальная скорость соответствует минимальной энергии)

$$(1+\frac{k}{2})=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$$

$$v=c\sqrt{1-\frac{4}{(2+k)^2}}\tag{4}$$
$$v=c\frac{\sqrt{k(k+4)}}{k+2}$$
Кажется, авторский ответ неверен