Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/14.5.12.md
+27 −4
| @@ -1,15 +1,38 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.5.12.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $14.5.12^∗$ . При каких кинетических энергиях $\pi^0$-мезона $\gamma$-квант, возникающий при распаде $\pi^0 → \gamma + \gamma$ и летящий назад, может родить электрон-позитронную пару при столкновении с тяжелым ядром? | ||
| ### Решение | |||
| + | Распад $\pi^0 → \gamma + \gamma$, где фотоны (а гамма-кванты это фотоны) разлетаются в противоположные стороны, уже рассмотрен в задаче [14.5.11](https://savchenkosolutions.com/ru/14.5.11). Оттуда позьмём формулы | ||
| − | |||
| + | $$ | ||
| + | E_2=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1}\tag{1} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=E_1+E_2-m_{\pi^0}c^2\tag{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | $(1)\to(2)$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \mathcal{E}_K=E_2+\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_2}-m_{\pi^0}c^2\tag{3} | ||
| + | $$ | ||
| + | Где $E_1$ и $E_2$ - энергии летящих вперед и назад соответственно фотонов, $\mathcal{E}_K$ - искомая кинетическая энергия $\pi^0$-мезона | ||
| + | Теперь рассмотрим вторую часть условия. Столкновение с тяжёлым ядром означает, что импульс фотона почти полностью передастся ядру. При этом из-за большой массы приобретенная ядром скорость, а значит и потраченная на разгон ядра энергия (помним, что она сильнее зависит от скорости, чем от массы) пренебрежимо малы. Тогда пороговая энергия соответствует рождению покоящихся относительно друг друга частиц: | ||
| $$ | |||
| + | E_2=2m_ec^2\tag{4} | ||
| + | $$ | ||
| + | $(4)\to(3)$, учитывая что минимальной энергии $E_2$ соответствует минимальная $\mathcal{E}_K$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \mathcal{E}_{Kmin}=2m_ec^2+\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{8m_ec^2}-m_{\pi^0}c^2\tag{3} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \mathcal{E}_{Kmin}=2m_ec^2\left(1+\left(\frac{m_{\pi^0}c^2}{4m_ec^2}\right)^2+\frac{m_{\pi^0}c^2}{2m_ec^2}\right) | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| \mathcal{E}_K<2m_e c^2 \left( \frac{m_{\pi^0}}{4m_e} -1\right)^2 | |||
| $$ | |||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{\mathcal{E}_K<2m_e c^2 \left( \frac{m_{\pi^0}}{4m_e} -1\right)^2} | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,15 +1,38 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.5.12.$ [Вставьте условие задачи] | $14.5.12^∗$ . При каких кинетических энергиях $\pi^0$-мезона $\gamma$-квант, возникающий при распаде $\pi^0 → \gamma + \gamma$ и летящий назад, может родить электрон-позитронную пару при столкновении с тяжелым ядром? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Распад $\pi^0 → \gamma + \gamma$, где фотоны (а гамма-кванты это фотоны) разлетаются в противоположные стороны, уже рассмотрен в задаче [14.5.11](https://savchenkosolutions.com/ru/14.5.11). Оттуда позьмём формулы | |||
| $$ | |||
| E_2=\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_1}\tag{1} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_K=E-m_{\pi^0}c^2=E_1+E_2-m_{\pi^0}c^2\tag{2} | |||
| $$ | |||
| $(1)\to(2)$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_K=E_2+\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{4E_2}-m_{\pi^0}c^2\tag{3} | |||
| $$ | |||
| Где $E_1$ и $E_2$ - энергии летящих вперед и назад соответственно фотонов, $\mathcal{E}_K$ - искомая кинетическая энергия $\pi^0$-мезона | |||
| Теперь рассмотрим вторую часть условия. Столкновение с тяжёлым ядром означает, что импульс фотона почти полностью передастся ядру. При этом из-за большой массы приобретенная ядром скорость, а значит и потраченная на разгон ядра энергия (помним, что она сильнее зависит от скорости, чем от массы) пренебрежимо малы. Тогда пороговая энергия соответствует рождению покоящихся относительно друг друга частиц: | |||
| $$ | $$ | ||
| E_2=2m_ec^2\tag{4} | |||
| $$ | |||
| $(4)\to(3)$, учитывая что минимальной энергии $E_2$ соответствует минимальная $\mathcal{E}_K$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_{Kmin}=2m_ec^2+\frac{m_{\pi^0}^2c^4}{8m_ec^2}-m_{\pi^0}c^2\tag{3} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_{Kmin}=2m_ec^2\left(1+\left(\frac{m_{\pi^0}c^2}{4m_ec^2}\right)^2+\frac{m_{\pi^0}c^2}{2m_ec^2}\right) | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| \mathcal{E}_K<2m_e c^2 \left( \frac{m_{\pi^0}}{4m_e} -1\right)^2 | \mathcal{E}_K<2m_e c^2 \left( \frac{m_{\pi^0}}{4m_e} -1\right)^2 | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$ | ||
| \boxed{\mathcal{E}_K<2m_e c^2 \left( \frac{m_{\pi^0}}{4m_e} -1\right)^2} | |||
| $$ | |||