Edits to “Условие”, “Решение”, “Литература”

igor edited Jun 6, 2026, 6:42 AM

View solution History

revision #18314 parent #18313 ← older newer →

ru/3.4.9.md +43 −3

		@@ -1,11 +1,51 @@
			### Условие

		−	$3.4.9.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$3.4.9.$ Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях $x$, $y$, движется по траектории, которая называется фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целые числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу при равных частотах?

			### Решение

		−	132
		+	Попробуйте использовать метод «выпрямить кривое», следя отдельно за движением точки по оси $x$ и $y$, отражая участки траекторий по этим осям так, чтобы мнимая траектория шла в одном направлении (не накладывалась на себя). Это можно рисовать в сетке с длиной ячейки, кратной амплитуде по соответствующей оси.

		+	Общее доказательство. Пусть частоты по осям $x$ и $y$ соотносятся соответственно как
		+
		+	$$
		+	\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{p}{q},
		+	$$
		+
		+	где $p$ и $q$ есть целые числа.
		+
		+	Тогда за однои то же время число колебаний по этим осям соответственно
		+
		+	$$
		+	\frac{N_x}{N_y}=\frac{p}{q}.
		+	$$
		+
		+	Если, например, по оси $x$ точка совершила $N_x$ колебаний, то по оси $y$ она совершила
		+
		+	$$
		+	N_y=N_x\frac{q}{p}.
		+	$$
		+
		+	Пусть $N_x$ есть целое, хотя $p/q$ есть в общем не целое! Если подобрать $N_x^*=kp$, где $k$ есть целое, то соответственно получим
		+
		+	$$
		+	N_y^*=kp\frac{q}{p}=kq.
		+	$$
		+
		+	А $kq$ (произведение целых) есть целое.
		+
		+	Это значит, что по осям $x$ и $y$ точки вернулись в начальные фазы одновременно. То есть они оказались в начальной точке. Движение повторяется с теми же начальными условиями по той же кривой.
		+
		+	При равных частотах траектоия точки найдена в задаче $3.4.3.\text{б}$. Это будет эллипс.
		+
		+
		+	#### Литература
		+
		+	[1] Журнал «Квант».
		+
		+	[2] Башмаков М.И. Беккер Б.М. Гольховой В.М. Задачи по математике: алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». 1982.
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	Если $T_x : T_y = p : q$, где $p$ и $q$ — целые числа, то за время $pT_y = qT_x$ точка вернется в свое начальное положение. При $T_y = T_x$ траектория точки — эллипс.

	@@ -1,11 +1,51 @@
	### Условие		### Условие

	$3.4.9.$ [Вставьте условие задачи]		$3.4.9.$ Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях $x$, $y$, движется по траектории, которая называется фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целые числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу при равных частотах?

	### Решение		### Решение

	132		Попробуйте использовать метод «выпрямить кривое», следя отдельно за движением точки по оси $x$ и $y$, отражая участки траекторий по этим осям так, чтобы мнимая траектория шла в одном направлении (не накладывалась на себя). Это можно рисовать в сетке с длиной ячейки, кратной амплитуде по соответствующей оси.

			Общее доказательство. Пусть частоты по осям $x$ и $y$ соотносятся соответственно как

			$$
			\frac{\nu_x}{\nu_y}=\frac{p}{q},
			$$

			где $p$ и $q$ есть целые числа.

			Тогда за однои то же время число колебаний по этим осям соответственно

			$$
			\frac{N_x}{N_y}=\frac{p}{q}.
			$$

			Если, например, по оси $x$ точка совершила $N_x$ колебаний, то по оси $y$ она совершила

			$$
			N_y=N_x\frac{q}{p}.
			$$

			Пусть $N_x$ есть целое, хотя $p/q$ есть в общем не целое! Если подобрать $N_x^*=kp$, где $k$ есть целое, то соответственно получим

			$$
			N_y^*=kp\frac{q}{p}=kq.
			$$

			А $kq$ (произведение целых) есть целое.

			Это значит, что по осям $x$ и $y$ точки вернулись в начальные фазы одновременно. То есть они оказались в начальной точке. Движение повторяется с теми же начальными условиями по той же кривой.

			При равных частотах траектоия точки найдена в задаче $3.4.3.\text{б}$. Это будет эллипс.


			#### Литература

			[1] Журнал «Квант».

			[2] Башмаков М.И. Беккер Б.М. Гольховой В.М. Задачи по математике: алгебра и анализ. Библиотечка «Квант». 1982.


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		Если $T_x : T_y = p : q$, где $p$ и $q$ — целые числа, то за время $pT_y = qT_x$ точка вернется в свое начальное положение. При $T_y = T_x$ траектория точки — эллипс.