Решение

Уравнение второго закона Ньютона на направление движения:

$$ma = F_с$$

$$\frac{F_с}{m}=\frac{dv_x}{dt}$$

Производная скорости по времени

$$\frac{dv_x}{dt}=\frac{d}{dt}(v_0-\beta x)$$

$$\frac{dv_x}{dt}=\frac{dv_0}{dt}-\beta\frac{dx}{dt}=-\beta v$$

знак минус показывает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости. Объединяя уравнения, получим значение силы сопротивления в функции скорости

$$\boxed{F=\beta mv}$$