Решение

$\textbf{а. }$ Направим ось $x$ вдоль пластин конденсатора, а ось $y$ перпендикулярно. Пусть электроны влетают в конденсатор параллельно пластинам со скоростью $\upsilon$. Так как вдоль оси $x$ силы не действуют, эта скорость остается постоянной. Время пролета конденсатора:

$$\tau=\frac{l}{\upsilon}$$

Переменное напряжение на пластинах создает электрическое поле:

$$E(t)=\frac{V_{0}}{d}\sin\omega t$$

Уравнение движения электрона вдоль оси $y$:

$$m\frac{d\upsilon_{y}}{dt}=eE(t)=\frac{eV_{0}}{d}\sin\omega t \tag{1}$$

Пусть электрон влетает в конденсатор в момент времени $t_{0}$ с начальной скоростью $\upsilon_{y}(t_{0})=0$, тогда интегрируя (1) получим:

$$\upsilon_{y}(t)=\frac{eV_{0}}{md}\int_{t_{0}}^{t}\sin\omega tdt=\frac{eV_{0}}{md\omega}(\cos\omega t_{0}-\cos\omega t) \tag{2}$$

На выходе из конденсатора в момент времени $t=t_{0}+\tau$ скорость электрона:

$$\upsilon_{y}(t_{0}+\tau)=\frac{eV_{0}}{md\omega}(\cos\omega t_{0}-\cos\omega (t_{0}+\tau))$$

Поскольку канал B длинный, даже малая поперечная скорость приведёт к уходу электрона на стенку канала. Поэтому необходимо $\upsilon_{y}(t_{0}+\tau)=0$, отсюда:

$$\cos\omega t_{0}=\cos(\omega t_{0}+\omega\tau)$$

Поскольку входной пучок непрерывен и момент влёта электрона относительно фазы поля случаен, устройство должно пропускать электроны выбранной скорости независимо от фазы их влёта. Это возможно только тогда, когда:

$$\omega\tau=2\pi n \tag{3}$$

где $n=1,2,3...$. Подставим $\tau$:

$$\omega\frac{l}{\upsilon}=2\pi n\Longrightarrow \upsilon=\frac{\omega l}{2\pi n} \tag{4}$$

$\textbf{б. }$ Найдем смещение электрона по оси $y$ за время пролета $\tau$, проинтегрировав (2):

$$\Delta y=\int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau}\upsilon_{y}(t)dt=\frac{eV_{0}}{md\omega}\left( \tau\cos\omega t_{0}-\frac{\sin\omega(t_{0}+\tau)-\sin\omega t_{0}}{\omega} \right)$$

Поскольку $\omega\tau=2\pi n$, то разница синусов равна 0. Тогда получим:

$$\Delta y=\frac{eV_{0}\tau}{md\omega}\cos\omega t_{0}=\frac{eV_{0}\omega\tau}{md\omega^{2}}\cos\omega t_{0}=\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}\cos\omega t_{0}$$

Максимальное и минимальное значения смещения определяются границами функции $\cos\omega t_{0}\in \left[ 1;-1 \right]$:

$$\Delta y_{max}=\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}$$
$$\Delta y_{min}=-\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}$$

Чтобы вся выделенная группа электронов попала в канал В шириной $b_{B}$, ширина канала должна быть не меньше полной ширины пролетающего пучка:

$$b_{B}\ge b_{A}+2\Delta y_{max}$$

Таким образом, канал В должен быть шире отверстия А на величину:

$$\Delta b=b_{B}-b_{A}=2\Delta y_{max}=\frac{4\pi eV_{0}n}{m\omega^{2}d}$$