| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $7.3.10.$ Устройство для выделения из электронного пучка электронов с определенной скоростью состоит из плоского конденсатора длины $l$, перекрытого с двух сторон экранами с входным отверствием A и длинным выходным каналом B. На пластины конденсатора подается переменное напряжение с частотой $\omega$ и амплитудой $V_{0}$. Расстояние между пластинами $d$. | | $7.3.10.$ Устройство для выделения из электронного пучка электронов с определенной скоростью состоит из плоского конденсатора длины $l$, перекрытого с двух сторон экранами с входным отверствием A и длинным выходным каналом B. На пластины конденсатора подается переменное напряжение с частотой $\omega$ и амплитудой $V_{0}$. Расстояние между пластинами $d$. |
| | | |
| $\textbf{а. }$ Какова скорость электронов, выделяемых устройством из электронного пучка, влетающего параллельно пластинам? | | $\textbf{а. }$ Какова скорость электронов, выделяемых устройством из электронного пучка, влетающего параллельно пластинам? |
| | | |
| $\textbf{б. }$ На сколько отверстие A должно быть уже канала B, чтобы выделенная группа электронов прошла через канал? | | $\textbf{б. }$ На сколько отверстие A должно быть уже канала B, чтобы выделенная группа электронов прошла через канал? |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| $\textbf{а. }$ Направим ось $x$ вдоль пластин конденсатора, а ось $y$ перпендикулярно. Пусть электроны влетают в конденсатор параллельно пластинам со скоростью $\upsilon$. Так как вдоль оси $x$ силы не действуют, эта скорость остается постоянной. Время пролета конденсатора: | | $\textbf{а. }$ Направим ось $x$ вдоль пластин конденсатора, а ось $y$ перпендикулярно. Пусть электроны влетают в конденсатор параллельно пластинам со скоростью $\upsilon$. Так как вдоль оси $x$ силы не действуют, эта скорость остается постоянной. Время пролета конденсатора: |
| | | |
| $$\tau=\frac{l}{\upsilon}$$ | | $$\tau=\frac{l}{\upsilon}$$ |
| | | |
| Переменное напряжение на пластинах создает электрическое поле: | | Переменное напряжение на пластинах создает электрическое поле: |
| | | |
| $$E(t)=\frac{V_{0}}{d}\sin\omega t$$ | | $$E(t)=\frac{V_{0}}{d}\sin\omega t$$ |
| | | |
| Уравнение движения электрона вдоль оси $y$: | | Уравнение движения электрона вдоль оси $y$: |
| | | |
| $$m\frac{d\upsilon_{y}}{dt}=eE(t)=\frac{eV_{0}}{d}\sin\omega t \tag{1}$$ | | $$m\frac{d\upsilon_{y}}{dt}=eE(t)=\frac{eV_{0}}{d}\sin\omega t \tag{1}$$ |
| | | |
| Пусть электрон влетает в конденсатор в момент времени $t_{0}$ с начальной скоростью $\upsilon_{y}(t_{0})=0$, тогда интегрируя (1) получим: | | Пусть электрон влетает в конденсатор в момент времени $t_{0}$ с начальной скоростью $\upsilon_{y}(t_{0})=0$, тогда интегрируя (1) получим: |
| | | |
| $$\upsilon_{y}(t)=\frac{eV_{0}}{md}\int_{t_{0}}^{t}\sin\omega tdt=\frac{eV_{0}}{md\omega}(\cos\omega t_{0}-\cos\omega t) \tag{2}$$ | | $$\upsilon_{y}(t)=\frac{eV_{0}}{md}\int_{t_{0}}^{t}\sin\omega tdt=\frac{eV_{0}}{md\omega}(\cos\omega t_{0}-\cos\omega t) \tag{2}$$ |
| | | |
| На выходе из конденсатора в момент времени $t=t_{0}+\tau$ скорость электрона: | | На выходе из конденсатора в момент времени $t=t_{0}+\tau$ скорость электрона: |
| | | |
| $$\upsilon_{y}(t_{0}+\tau)=\frac{eV_{0}}{md\omega}(\cos\omega t_{0}-\cos\omega (t_{0}+\tau))$$ | | $$\upsilon_{y}(t_{0}+\tau)=\frac{eV_{0}}{md\omega}(\cos\omega t_{0}-\cos\omega (t_{0}+\tau))$$ |
| | | |
| Поскольку канал B длинный, даже малая поперечная скорость приведёт к уходу электрона на стенку канала. Поэтому необходимо $\upsilon_{y}(t_{0}+\tau)=0$, отсюда: | | Поскольку канал B длинный, даже малая поперечная скорость приведёт к уходу электрона на стенку канала. Поэтому необходимо $\upsilon_{y}(t_{0}+\tau)=0$, отсюда: |
| | | |
| $$\cos\omega t_{0}=\cos(\omega t_{0}+\omega\tau)$$ | | $$\cos\omega t_{0}=\cos(\omega t_{0}+\omega\tau)$$ |
| | | |
| Поскольку входной пучок непрерывен и момент влёта электрона относительно фазы поля случаен, устройство должно пропускать электроны выбранной скорости независимо от фазы их влёта. Это возможно только тогда, когда: | | Поскольку входной пучок непрерывен и момент влёта электрона относительно фазы поля случаен, устройство должно пропускать электроны выбранной скорости независимо от фазы их влёта. Это возможно только тогда, когда: |
| | | |
| $$\omega\tau=2\pi n \tag{3}$$ | | $$\omega\tau=2\pi n \tag{3}$$ |
| | | |
| где $n=1,2,3...$. Подставим $\tau$: | | где $n=1,2,3...$. Подставим $\tau$: |
| | | |
| $$\omega\frac{l}{\upsilon}=2\pi n\Longrightarrow \upsilon=\frac{\omega l}{2\pi n} \tag{4}$$ | | $$\omega\frac{l}{\upsilon}=2\pi n\Longrightarrow \upsilon=\frac{\omega l}{2\pi n} \tag{4}$$ |
| | | |
| $\textbf{б. }$ Найдем смещение электрона по оси $y$ за время пролета $\tau$, проинтегрировав (2): | | $\textbf{б. }$ Найдем смещение электрона по оси $y$ за время пролета $\tau$, проинтегрировав (2): |
| | | |
| $$\Delta y=\int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau}\upsilon_{y}(t)dt=\frac{eV_{0}}{md\omega}\left( \tau\cos\omega t_{0}-\frac{\sin\omega(t_{0}+\tau)-\sin\omega t_{0}}{\omega} \right)$$ | | $$\Delta y=\int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau}\upsilon_{y}(t)dt=\frac{eV_{0}}{md\omega}\left( \tau\cos\omega t_{0}-\frac{\sin\omega(t_{0}+\tau)-\sin\omega t_{0}}{\omega} \right)$$ |
| | | |
| Поскольку $\omega\tau=2\pi n$, то разница синусов равна 0. Тогда получим: | | Поскольку $\omega\tau=2\pi n$, то разница синусов равна 0. Тогда получим: |
| | | |
| $$\Delta y=\frac{eV_{0}\tau}{md\omega}\cos\omega t_{0}=\frac{eV_{0}\omega\tau}{md\omega^{2}}\cos\omega t_{0}=\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}\cos\omega t_{0}$$ | | $$\Delta y=\frac{eV_{0}\tau}{md\omega}\cos\omega t_{0}=\frac{eV_{0}\omega\tau}{md\omega^{2}}\cos\omega t_{0}=\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}\cos\omega t_{0}$$ |
| | | |
| Максимальное и минимальное значения смещения определяются границами функции $\cos\omega t_{0}\in \left[ 1;-1 \right]$: | | Максимальное и минимальное значения смещения определяются границами функции $\cos\omega t_{0}\in \left[ 1;-1 \right]$: |
| | | |
| $$\Delta y_{max}=\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}$$ | | $$\Delta y_{max}=\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}$$ |
| $$\Delta y_{min}=-\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}$$ | | $$\Delta y_{min}=-\frac{2\pi neV_{0}}{md\omega^{2}}$$ |
| | | |
| Чтобы вся выделенная группа электронов попала в канал В шириной $b_{B}$, ширина канала должна быть не меньше полной ширины пролетающего пучка: | | Чтобы вся выделенная группа электронов попала в канал В шириной $b_{B}$, ширина канала должна быть не меньше полной ширины пролетающего пучка: |
| | | |
| $$b_{B}\ge b_{A}+2\Delta y_{max}$$ | | $$b_{B}\ge b_{A}+2\Delta y_{max}$$ |
| | | |
| Таким образом, канал В должен быть шире отверстия А на величину: | | Таким образом, канал В должен быть шире отверстия А на величину: |
| | | |
| $$\Delta b=b_{B}-b_{A}=2\Delta y_{max}=\frac{4\pi eV_{0}n}{m\omega^{2}d}$$ | | $$\Delta b=b_{B}-b_{A}=2\Delta y_{max}=\frac{4\pi eV_{0}n}{m\omega^{2}d}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
