Solution

Определим коэффициенты теплопроводности газов в смеси обозначим их $\kappa'_{1}$ и $\kappa'_{2}$.Так как газы одноатомные и температуры одинаковые можно считать, что:

$$\kappa\sim \frac{1}{\sigma\cdot \sqrt{\mu}}$$

Значит после всех преобразований можно получить:

$$\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}=\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}}\cdot \frac{r_{2}^2}{r_{1}^2}$$

Где $r_{1}$ и $r_{2}$ радиусы атомов газа.

$$r_{2}= r_{1}\cdot (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^{\frac{1}{2}}$$

Концентрации газов в смеси относятся как $$\frac{n_{1}}{n_{2}}=\alpha$$

Число столкновений молекул газа 1 и газа 2 в смеси:

$$\nu_{1}=4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}\cdot <\upsilon_{кв_{1}}> + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}\cdot <\upsilon_{кв_{1}}>$$

$$\nu_{2}=4\cdot \pi\cdot r_{2}^{2}\cdot n_{2}\cdot <\upsilon_{кв_{2}}> + n_{2}\cdot \alpha\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}\cdot <\upsilon_{кв_{2}}>$$

Запишем отношения теплопроводностей "до" к "после", после преобразований получим:

$$\frac{\kappa_{1}}{\kappa'_{1}}=\frac{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1} + \frac{n_{1}}{\alpha}\cdot \pi\cdot (r_{1} + r_{2})^{2}}{4\cdot \pi\cdot r_{1}^{2}\cdot n_{1}}$$

Подставим выражение для $r_{2}$, закончим преобразования и выразим новую теплопроводность газа 1:

$$\kappa'_{1} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$

Аналогично для газа 2:

$$\kappa'_{2} = \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$

Пусть создан градиент температур $\frac{\partial T}{\partial x}$ внутри смеси. Поток тепла через смесь равен:

$$q_{12} = \kappa_{12}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S = q_{1} + q_{2} = \kappa'_{1}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S + \kappa'_{2}\cdot \frac{\partial T}{\partial x}\cdot S$$

Отсюда:
$$\kappa_{12} = \kappa'_{1} + \kappa'_{2}$$

$$\kappa_{12} = \frac{\kappa_{1}}{1 + \frac{1}{4\cdot \alpha}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}})^\frac{1}{2}]^{2}} + \frac{\kappa_{2}}{1 + \frac{\alpha}{4}\cdot [1 + (\frac{\kappa_{2}}{\kappa_{1}}\cdot \sqrt{\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}})^\frac{1}{2}]^{2}}$$