Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

jzmicer edited
View solution History
revision #18562 parent #18561 ← older
ru/14.5.21.md +73 −4
@@ -1,11 +1,80 @@
+
### Условие
+$14.5.21$. В каком диапазоне энергий лежат кинетические энергии электронов и нейтрино, возникающих при распаде $\mu^− $-мезона:
+$$
+\mu^− \to e^− + \nu + \bar{\nu}
+$$
−$14.5.21.$ [Вставьте условие задачи]
### Решение
+Нейтрино считаем безмассовой частицами, поэтому их кинетическая энергия равна полной.
+Нетрудно показать, что распад возможен при нулевых кинетических энергиях электрона или нейтрино (например, когда остальные 2 частицы разлетаются в противоположных направлениях с одинаковыми импульсами). Найдем максимальную возможную энергию
−1
+В системе покоя мюона суммарный импульс равен нулю. Максимум энергии электрона достигается,когда он получает максимальный импульс, то есть когда оба нейтрино вылетают в одном направлении, противоположном направлению электрона. Импулься коллинеарны, поэтому пусть $E=E_{\nu}+E_{\bar{\nu}}$, $\ P=p_{\nu}+p_{\bar{\nu}}=\frac{E}{c}$
+Законы сохранения:
+$$
+m_{\mu^−}c^2=E+E_{e}\qquad p_{e}-P=0\tag{1}
+$$
+Инвариант для электрона:
+$$
+m_e^2c^2=\frac{E_e^2}{c^2}-p_e^2\tag{2}
+$$
+$(2)\to(1)$
+$$
+E^2=E_e^2-m_e^2c^4=(m_{\mu^−}c^2-E_e)^2\tag{3}
+$$
+$$
+E_e=c^2\frac{m_{\mu^−}^2+m_e^2}{2m_{\mu^−}}\tag{4}
+$$
+$$
+E_{eK}=E_e-m_ec^2=c^2\frac{m_{\mu^−}^2+m_e^2-2m_{\mu^−}m_e}{2m_{\mu^−}}=c^2\frac{(m_{\mu^-}-m_e)^2}{2m_{\mu^-}}\tag{5}
+$$
+Теперь аналогично, пусть нейтрино летит в одну сторону, а электрон и антинейтрино - в противоположную.
−#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+Законы сохранения и инвариант:
+$$
+m_{\mu^−}c^2=E_{\nu}+E_{\bar{\nu}}+E_{e}\qquad p_{e}+\frac{E_{\bar{\nu}}}{c}=\frac{E_{\nu}}{c}\tag{6}
+$$
+$$
+m_e^2c^2=\frac{E_e^2}{c^2}-p_e^2\tag{7}
+$$
+$$
+(E_{\nu}-E_{\bar{\nu}})^2=E_e^2-m_e^2c^4\tag{8}
+$$
+$$
+(E_{\nu}-E_{\bar{\nu}})^2=(m_{\mu^−}c^2-E_{\nu}-E_{\bar{\nu}})^2-m_e^2c^4\tag{9}
+$$
+
+
+
+Перепишем $(9)$ в обозначениях $y = E_{\nu}$, $y = E_{\bar{\nu}}$, $M = m_{\mu^-}c^2$, $m= m_e c^2$:
+$$
+(y-x)^2 = (M - x - y)^2 - m^2.
+$$
+Раскрыв скобки, например, с помощью разности квадратов, получим
+$$
+(2x - M)( 2y-M) = m^2.
+$$
+$$
+y=\frac{1}{2}\left(\frac{m^2}{2x - M}+M\right)
+$$
+
+Исследуем монотонность:
+\[
+\frac{dy}{dx} = -\frac{m^2}{(2x - M)^2} < 0.
+\]
+Следовательно, функция строго убывает с ростом $x$. Значит, максимальное значение $x = E_{\nu}$ достигается при наименьшем возможном $x$. Наименьшее значение $x = E_{\bar{\nu}}$ равно нулю (энергия не может быть отрицательной). Подставляя $x = 0$:
+
+
+$$
+E_{\nu}=\frac{c^2}{2}\left(m_{\mu^-}-\frac{m_e^2}{m_{\mu^-}}\right)
+$$
+Похоже, у автора в ответе опечатка
+#### Ответ
+$$
+E_{\nu}\in \left[0;\frac{c^2}{2}\left(m_{\mu^-}-\frac{m_e^2}{m_{\mu^-}}\right)\right]
+$$
+$$
+E_{eK}\in \left[0;\frac{c^2(m_{\mu^-}-m_e)^2}{2m_{\mu^-}}\right]
+$$