Edits to “Условие”, “Решение”
ru/12.2.10.md
+34 −4
| @@ -1,11 +1,41 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $12.2.10.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $12.2.10$. Изобразите на графике зависимость интенсивности света в точке $A$ от радиуса отверстия, перекрывающего параллельный поток излучения с длиной волны $\lambda$. Расстояние от точки $A$ до центра отверстия $b$. Интенсивность излучения в потоке $I$. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| + | В условии неточность. Правильно: "...от радиуса отверстия в плоскости, перекрывающей параллельный поток излучения..." | ||
| − | 1 | ||
| + | Авторский график неверный, вот мой вариант: | ||
| + |  | ||
| − | #### Ответ | ||
| − | |||
| + | |||
| + | При $R \to 0$ отверстие работает как точечный источник вторичных волн. Интенсивность близка к нулю и медленно увеличивается. | ||
| + | |||
| + | По мере роста $R$ мы получаем классическую задачу о дифракции Френеля на отверстии. Её принято решать так: плоский фронт разбивается на кольцевые зоны так, что расстояния от границ зон до точки $A$ отличаются на $\lambda/2$: | ||
| + | |||
| + | |||
| + |  | ||
| + | Найдём радиусы зон Френеля: | ||
| + | $$ | ||
| + | \sqrt{r_m^2 + b^2} - b = \frac{m\lambda}{2} \tag{1} | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | r_m =\sqrt{mb\lambda+\left(\frac{m\lambda}{2}\right)^2}\approx \sqrt{mb\lambda}, \quad m \in Z \tag{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | Когда радиус отверстия совпадает с границей нечётной зоны $(\sqrt{b\lambda}, \sqrt{3b\lambda} )$ ,вторичные волны приходят в фазе, поэтому в точке A амплитуда удваивается, а интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды, равна $4I$. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Когда же отверстие закрывает чётное число зон (граница совпадает с концом второй, четвёртой и т.д. зоны), волны от соседних зон приходят в противофазе и гасят друг друга, давая почти ноль интенсивности (дифракционный минимум). | ||
| + | |||
| + | По мере дальнейшего увеличения $R$ радиус отверстия перекрывает всё больше зон. Амплитуда постепенно уменьшается: максимумы становятся всё ближе к $I$, а минимумы перестают достигать нуля. Это происходит потому, что вклад далёких зон Френеля меньше вклада ближних. | ||
| + | |||
| + | В пределе больших $R$ (геометрическая оптика) всё падающее излучение беспрепятственно проходит, и интенсивность в точке A стремится к $I$ | ||
| + | |||
| + | Итоговая зависимость — это медленно затухающие колебания, начинающиеся от нуля и асимптотически приближающиеся к $I$. | ||
| + | |||
| @@ -1,11 +1,41 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $12.2.10.$ [Вставьте условие задачи] | $12.2.10$. Изобразите на графике зависимость интенсивности света в точке $A$ от радиуса отверстия, перекрывающего параллельный поток излучения с длиной волны $\lambda$. Расстояние от точки $A$ до центра отверстия $b$. Интенсивность излучения в потоке $I$. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| В условии неточность. Правильно: "...от радиуса отверстия в плоскости, перекрывающей параллельный поток излучения..." | |||
| 1 | Авторский график неверный, вот мой вариант: | ||
|  | |||
| #### Ответ | |||
| При $R \to 0$ отверстие работает как точечный источник вторичных волн. Интенсивность близка к нулю и медленно увеличивается. | |||
| По мере роста $R$ мы получаем классическую задачу о дифракции Френеля на отверстии. Её принято решать так: плоский фронт разбивается на кольцевые зоны так, что расстояния от границ зон до точки $A$ отличаются на $\lambda/2$: | |||
|  | |||
| Найдём радиусы зон Френеля: | |||
| $$ | |||
| \sqrt{r_m^2 + b^2} - b = \frac{m\lambda}{2} \tag{1} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| r_m =\sqrt{mb\lambda+\left(\frac{m\lambda}{2}\right)^2}\approx \sqrt{mb\lambda}, \quad m \in Z \tag{2} | |||
| $$ | |||
| Когда радиус отверстия совпадает с границей нечётной зоны $(\sqrt{b\lambda}, \sqrt{3b\lambda} )$ ,вторичные волны приходят в фазе, поэтому в точке A амплитуда удваивается, а интенсивность, пропорциональная квадрату амплитуды, равна $4I$. | |||
| Когда же отверстие закрывает чётное число зон (граница совпадает с концом второй, четвёртой и т.д. зоны), волны от соседних зон приходят в противофазе и гасят друг друга, давая почти ноль интенсивности (дифракционный минимум). | |||
| По мере дальнейшего увеличения $R$ радиус отверстия перекрывает всё больше зон. Амплитуда постепенно уменьшается: максимумы становятся всё ближе к $I$, а минимумы перестают достигать нуля. Это происходит потому, что вклад далёких зон Френеля меньше вклада ближних. | |||
| В пределе больших $R$ (геометрическая оптика) всё падающее излучение беспрепятственно проходит, и интенсивность в точке A стремится к $I$ | |||
| Итоговая зависимость — это медленно затухающие колебания, начинающиеся от нуля и асимптотически приближающиеся к $I$. | |||