10.1.22∗. Докажите, что приращение момента импульса $∆M$ кольца в задаче $10.1.21$ пропорционально приращению потока магнитной индукции через кольцо $∆Φ$:$∆M = (1/2π)Q∆Φ$, где $Q$ — электрический заряд кольца. Для доказательства воспользуйтесь тем, что поток магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра равен разности потоков через его торцы.
Solution
Рассмотрим перемещение кольца на расстояние $dx= \upsilon dt$. Приращение момента импульса кольца распишем по определению:
$$\Delta M = N dt$$
Где $N$ - момент действующий на кольцо рассчитанный в предыдущей задаче:
$$N = 2\pi \rho B_R R^2 \upsilon$$
Теперь воспользуемся подсказкой из условия, изменение потока через сечение кольца есть поток через боковую поверхность цилиндра который он описывает за время dt:
$$\Delta \Phi = 2\pi R B_R \upsilon dt$$
Заметим теперь что плотность заряда в кольце есть: