Решение

Statement

$10.1.24.$ а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности. Через него проводят любую другую окружность, ось $OO′$ которой направле на вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$, где $Φ$ — поток магнитного поля через эту окружность, а $M$ — момент импульса электрона от носительно оси $OO′$, не зависит от положения электрона.

б. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$ не меняется в случае движения электрона в однородном магнитном поле по винтовой линии

Решение

а)
Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $R < d$:

$$h = dcos\alpha - R$$

А момент импульса, вспомнив выражение для импульса через радиус орбиты:

$$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$

Поток через побочную окружность равен:

$$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$

Подставим все в наш искомый инвариант:

$$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$

Как видим зависимости от положения действительно нет.

б)

При движении по спирали у нас появляется две компоненты скорости, однако параллельная оси компонента не вносит вклад в проекцию момента импульса на ось магнитного поля, а сложение скаляра потока и модуля момента импульса имеет смысл только в смысле проекции на ось перпендикулярную сечению