Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/10.1.24.md
+2 −12
| @@ -1,16 +1,10 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $10.1.24.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | ### Statement | ||
| − | |||
| $10.1.24.$ а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности. Через него проводят любую другую окружность, ось $OO′$ которой направле на вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$, где $Φ$ — поток магнитного поля через эту окружность, а $M$ — момент импульса электрона от носительно оси $OO′$, не зависит от положения электрона. | |||
| б. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$ не меняется в случае движения электрона в однородном магнитном поле по винтовой линии | |||
| − | ### | ||
| + | ### Решение | ||
| а) | |||
| Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $R < d$: | |||
| $$h = dcos\alpha - R$$ | |||
| А момент импульса, вспомнив выражение для импульса через радиус орбиты: | |||
| $$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$ | |||
| Поток через побочную окружность равен: | |||
| $$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$ | |||
| Подставим все в наш искомый инвариант: | |||
| $$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$ | |||
| Как видим зависимости от положения действительно нет. | |||
| б) | |||
| При движении по спирали у нас появляется две компоненты скорости, однако параллельная оси компонента не вносит вклад в проекцию момента импульса на ось магнитного поля, а сложение скаляра потока и модуля момента импульса имеет смысл только в смысле проекции на ось перпендикулярную сечению | |||
| @@ -39,12 +33,8 @@Решение | |||
| − | #### | ||
| + | #### Ответ | ||
| а) Ч.т.д. | |||
| б) Ч.т.д. | |||
| − | |||
| − | #### Ответ | ||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -1,16 +1,10 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $10.1.24.$ [Вставьте условие задачи] | |||
| ### Решение | |||
| ### Statement | |||
| $10.1.24.$ а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности. Через него проводят любую другую окружность, ось $OO′$ которой направле на вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$, где $Φ$ — поток магнитного поля через эту окружность, а $M$ — момент импульса электрона от носительно оси $OO′$, не зависит от положения электрона. | $10.1.24.$ а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности. Через него проводят любую другую окружность, ось $OO′$ которой направле на вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$, где $Φ$ — поток магнитного поля через эту окружность, а $M$ — момент импульса электрона от носительно оси $OO′$, не зависит от положения электрона. | ||
| б. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$ не меняется в случае движения электрона в однородном магнитном поле по винтовой линии | б. Покажите, что сумма $M +(1/2π)eΦ$ не меняется в случае движения электрона в однородном магнитном поле по винтовой линии | ||
| ### |
### Решение | ||
| а) | а) | ||
| Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $R < d$: | Рассмотрим две окружности, одну радиусом $R$, по ней вращается электрон, другую на оси, которая находится на расстоянии $d$ от центра первой. Рассмотрим момент времени когда R образует с d угол $\alpha$. Момент импульса есть произведение импульса на плечо - перпендикуляр от оси к прямой на которой лежит вектор скорости. В нашем случае, при $R < d$: | ||
| $$h = dcos\alpha - R$$ | $$h = dcos\alpha - R$$ | ||
| А момент импульса, вспомнив выражение для импульса через радиус орбиты: | А момент импульса, вспомнив выражение для импульса через радиус орбиты: | ||
| $$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$ | $$M = m \upsilon (dcos\alpha - R)=BeRdcos\alpha - BeR^2$$ | ||
| Поток через побочную окружность равен: | Поток через побочную окружность равен: | ||
| $$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$ | $$\Phi = B\pi R^2 = B \pi (R^2 + d^2 - 2Rdcos\alpha)$$ | ||
| Подставим все в наш искомый инвариант: | Подставим все в наш искомый инвариант: | ||
| $$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$ | $$M + \frac{1}{2\pi} e \Phi = BeRdcos\alpha - BeR^2 + \frac{BeR^2}{2} + \frac{Bed^2}{2} - BeRdcos \alpha = \frac{Be(d^2-R^2)}{2}$$ | ||
| Как видим зависимости от положения действительно нет. | Как видим зависимости от положения действительно нет. | ||
| б) | б) | ||
| При движении по спирали у нас появляется две компоненты скорости, однако параллельная оси компонента не вносит вклад в проекцию момента импульса на ось магнитного поля, а сложение скаляра потока и модуля момента импульса имеет смысл только в смысле проекции на ось перпендикулярную сечению | При движении по спирали у нас появляется две компоненты скорости, однако параллельная оси компонента не вносит вклад в проекцию момента импульса на ось магнитного поля, а сложение скаляра потока и модуля момента импульса имеет смысл только в смысле проекции на ось перпендикулярную сечению | ||
| @@ -39,12 +33,8 @@Решение | |||
| #### |
#### Ответ | ||
| а) Ч.т.д. | а) Ч.т.д. | ||
| б) Ч.т.д. | б) Ч.т.д. | ||
| #### Ответ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||