Альтернативное решение

Свои замечания к решению автора я отобразил в раздела "Обсуждение". Ответов нет, поэтому решил привести своё решение. В этой задаче рассматривается физика в пробкотроне.

Рассмотрим движение отдельного электрона массы $m$ в осесимметричном магнитном поле. Вектор скорости частицы в любой точке можно разложить на две составляющие: $\upsilon_{\parallel }$ - продольная скорость направленная вдоль силовой линии магнитного поля; $\upsilon_{\bot }$ - поперечная скорость в плоскости, перпендикулярной полю.

На электрон действует сила Лоренца. Поскольку эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости $\vec\upsilon$, она не совершает работы. Следовательно, кинетическая энергия, а из-за неё и модуль полной скорости электрона остаются неизменными на всем пути движения:

$$\upsilon^{2}=\upsilon_{\parallel }^{2}+\upsilon_{\bot }^{2}=const \tag{1}$$

Это наш первый инвариант.

При движении электрона в область более сильного поля от центра ловушки $B_{1}$ к пробке $B_{2}$ поле меняется медленно по сравнению с радиусом вращения частицы. В таких условиях выполняется закон сохранения адиабатического инварианта - магнитного момента электронной орбиты $\mu$:

$$\mu=\frac{m\upsilon_{\bot }^{2}}{2B}=const \tag{2}$$

Это наш второй инвариант.

Из этого инварианта следует, что при росте индукции магнитного поля $B$ поперечная скорость $\upsilon_{\bot }$ обязана увеличиваться:

$$\upsilon_{\bot }^{2}(B)=\frac{2\mu}{m}\cdot B \tag{3}$$

Пусть в центре ловушки, где поле равно $B_{1}$, электрон вылетает под углом $\alpha$ к оси ловушки, тогда его начальные компоненты скорости равны: $\upsilon_{\bot нач}=\upsilon\sin\alpha$, $\upsilon_{\parallel нач}=\upsilon\cos\alpha$.

Магнитный момент электрона в центре ловушки равен:

$$\mu=\frac{m(\upsilon\sin\alpha)^{2}}{2B_{1}} \tag{4}$$

Когда электрон движется к области сильного поля, его поперечная скорость растет. Чтобы компенсировать этот рост и сохранить полную энергию (напомню $\upsilon^{2}=const$), продольная скорость $\upsilon_{\parallel }$ начинает уменьшаться:

$$\upsilon_{\parallel }^{2}(B)=\upsilon^{2}-\upsilon_{\bot }^{2}(B)$$

Используя (3) и (4):

$$\upsilon_{\parallel }^{2}(B)=\upsilon^{2}-\frac{2\mu}{m}\cdot B=\upsilon^{2}-\frac{2B}{m}\cdot \frac{m(\upsilon\sin\alpha)^{2}}{2B_{1}}=\upsilon^{2}\left( 1-\frac{B}{B_{1}}\sin^{2}\alpha \right) \tag{5}$$

Электрон сможет остаться внутри ловушки только в том случае, если на пути его следования, где максимальное поле равно $B_2$, продольная скорость $\upsilon_{\parallel }$ упадет до нуля. Условие остановки частицы $\upsilon_{\parallel }=0$ в точке пробки $B=B_{2}$:

$$1-\frac{B_{2}}{B_{1}}\sin^{2}\alpha_{кр}=0\Longrightarrow \sin^{2}\alpha_{кр}=\frac{B_{1}}{B_{2}} \tag{6}$$

Если $\sin\alpha\ge \sin\alpha_{кр}$, электрон гарантированно затормозится и останется внутри ловушки. Если $\sin\alpha\lt \sin\alpha_{кр}$, электрон сохранит продольную скорость даже в точке максимального поля и вылетит наружу.

Радиоактивная пылинка испускает электроны изотропно во все стороны пространства. Это значит, что вероятность вылета электрона в определенном направлении прямо пропорциональна площади соответствующего телесного угла на единичной сфере. Ловушка симметрична и имеет два направления вылета — «вперед» и «назад» вдоль оси. Электроны покидают ловушку, если они летят слишком близко к оси в обоих направлениях.

Так как конуса два, суммарный телесный угол улетающих частиц в сферических координатах равен:

$$\Omega_{вылет}=2\cdot\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\alpha_{кр}}\sin\alpha d\alpha=4\pi(1-\cos\alpha_{кр})$$

Полный телесный угол сферы во всех направлениях равен $\Omega_{полн}=4\pi$, тогда доля частиц, которые покинут ловушку:

$$n_{вылет}=\frac{\Omega_{вылет}}{\Omega_{полн}}=\frac{4\pi(1-\cos\alpha_{кр})}{4\pi}=1-\cos\alpha_{кр}$$

Но нам необходимо найти долю электронов, которая останется внутри ловушки. Она равна дополнению от улетевших частиц до полной единицы:

$$n_{ост}=1-n_{вылет}=1-1+\cos\alpha_{кр}=\cos\alpha_{кр}$$

Используя (6), найдём:

$$n_{ост}=\cos\alpha_{кр}=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha_{кр}}=\sqrt{1-\frac{B_{1}}{B_{2}}}$$