Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/5.3.10.md
+55 −3
| @@ -1,11 +1,63 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.3.10.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $5.3.10.$ В тонком сосуде длины $L$ и сечения $S$ находится сухой воздух, изолированный заслонкой от воздуха, содержащего насыщенный водяной пар. Температура дна сосуда поддерживается на постоянном уровне ниже $0^{\circ }C$. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное состояние пара. Определите массу воды, замораживаемой в единицу времени, когда в сосуде установится стационарный поток пара. Коэффициент диффузии насыщенного пара $D$, его плотность $\rho$. | ||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | asd | ||
| + | Чтобы найти решение данной задачи, давайте сначала решим вспомогательную задачу. Представьте пьяного матроса, который выходит из бара на прямую улицу. Он делает шаги одинаковой длины $\lambda$. Но поскольку он абсолютно не контролирует своё направление, каждый следующий шаг он делает случайно: либо вперёд, либо назад. Для простоты рассмотрю одномерное движение вдоль одной линии. Вопрос: где он окажется через $N$ шагов? | ||
| + | Пусть общее смещение матроса от бара после $N$ шагов равно $L_{N}$, тогда следующий $(N+1)$-й шаг сместит его на: | ||
| + | |||
| + | $$L_{N+1}=L_{N}\pm \lambda$$ | ||
| + | |||
| + | Возведём это выражение в квадрат: | ||
| + | |||
| + | $$L_{N+1}^{2}=L_{N}^{2}\pm 2L_{N}\lambda+\lambda^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Так как направление шага абсолютно случайное, то если мы рассмотрим тысячи таких матросов, удвоенное произведение $\pm 2L_{N}\lambda$ в половине случаев будет со знаком плюс, а в другой половине со знаком минус. При усреднении по большому количеству частиц это слагаемое просто обратится в ноль. Поэтому: | ||
| + | |||
| + | $$\left\langle L_{N+1}^{2} \right\rangle=\left\langle L_{N}^{2} \right\rangle+\lambda^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Выходит, что после первого шага: $\left\langle L_{1}^{2} \right\rangle=\lambda^{2}$; после второго шага: $\left\langle L_{2}^{2} \right\rangle=\lambda^{2}+\lambda^{2}=2\lambda^{2}$; после третьего шага: $\left\langle L_{3}^{2} \right\rangle=3\lambda^{2}$; а после $N$ шага: $\left\langle L_{N}^{2} \right\rangle=N\lambda^{2}$ | ||
| + | |||
| + | Теперь, чтобы вернуться от квадратов к обычному линейному расстоянию, извлечём квадратный корень: | ||
| + | |||
| + | $$L\sim \sqrt{\left\langle L_{N}^{2} \right\rangle}=\lambda\sqrt{N}$$ | ||
| + | |||
| + | Вернёмся к нашей изначальной задаче. Молекула пара в вашей задаче это и есть такой «матрос». Она совершает $N$ столкновений, каждое длиной $\lambda$ (длина свободного пробега). Чтобы пройти весь сосуд длиной $L$, нужно, чтобы её чистое смещение стало равным $L$: | ||
| + | |||
| + | $$L=\lambda\sqrt{N}\Longrightarrow N=\frac{L^{2}}{\lambda^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Так как время одного шага (полёта между столкновениями): | ||
| + | |||
| + | $$\Delta t=\frac{\lambda}{\upsilon}$$ | ||
| + | |||
| + | то общее время диффузии: | ||
| + | |||
| + | $$\tau=N\cdot \Delta t=\frac{L^{2}}{\lambda^{2}}\cdot \frac{\lambda}{\upsilon}=\frac{L^{2}}{\lambda\upsilon}$$ | ||
| + | |||
| + | Молекулярно-кинетическая теория показывает, что коэффициент диффузии $D\sim \lambda\upsilon$, тогда: | ||
| + | |||
| + | $$\tau\approx \frac{L^{2}}{D}$$ | ||
| + | |||
| + | У Савченко здесь очередная опечатка (его ответ по размерности не подходит). | ||
| + | |||
| + | Для оценки массы применим закон Фика в интегральной форме для одномерного случая: | ||
| + | |||
| + | $$\dot{m}=DS\frac{\Delta\rho}{\Delta x}$$ | ||
| + | |||
| + | На открытом конце сосуда плотность пара равна $\rho$, а на холодном дне пар мгновенно замерзает, поэтому его плотность равна 0. Изменение плотности на всей длине сосуда $L$ будет $\Delta\rho=\rho-0=\rho$, тогда: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{\Delta\rho}{\Delta x}=\frac{\rho}{L}$$ | ||
| + | |||
| + | Окончательно: | ||
| + | |||
| + | $$\dot{m}=\frac{DS\rho}{L}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$t\approx \frac{L^{2}}{D}$$ | ||
| + | |||
| + | $$\dot{m}=\frac{DS\rho}{L}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,63 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.3.10.$ [Вставьте условие задачи] | $5.3.10.$ В тонком сосуде длины $L$ и сечения $S$ находится сухой воздух, изолированный заслонкой от воздуха, содержащего насыщенный водяной пар. Температура дна сосуда поддерживается на постоянном уровне ниже $0^{\circ }C$. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное состояние пара. Определите массу воды, замораживаемой в единицу времени, когда в сосуде установится стационарный поток пара. Коэффициент диффузии насыщенного пара $D$, его плотность $\rho$. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| asd | Чтобы найти решение данной задачи, давайте сначала решим вспомогательную задачу. Представьте пьяного матроса, который выходит из бара на прямую улицу. Он делает шаги одинаковой длины $\lambda$. Но поскольку он абсолютно не контролирует своё направление, каждый следующий шаг он делает случайно: либо вперёд, либо назад. Для простоты рассмотрю одномерное движение вдоль одной линии. Вопрос: где он окажется через $N$ шагов? | ||
| Пусть общее смещение матроса от бара после $N$ шагов равно $L_{N}$, тогда следующий $(N+1)$-й шаг сместит его на: | |||
| $$L_{N+1}=L_{N}\pm \lambda$$ | |||
| Возведём это выражение в квадрат: | |||
| $$L_{N+1}^{2}=L_{N}^{2}\pm 2L_{N}\lambda+\lambda^{2}$$ | |||
| Так как направление шага абсолютно случайное, то если мы рассмотрим тысячи таких матросов, удвоенное произведение $\pm 2L_{N}\lambda$ в половине случаев будет со знаком плюс, а в другой половине со знаком минус. При усреднении по большому количеству частиц это слагаемое просто обратится в ноль. Поэтому: | |||
| $$\left\langle L_{N+1}^{2} \right\rangle=\left\langle L_{N}^{2} \right\rangle+\lambda^{2}$$ | |||
| Выходит, что после первого шага: $\left\langle L_{1}^{2} \right\rangle=\lambda^{2}$; после второго шага: $\left\langle L_{2}^{2} \right\rangle=\lambda^{2}+\lambda^{2}=2\lambda^{2}$; после третьего шага: $\left\langle L_{3}^{2} \right\rangle=3\lambda^{2}$; а после $N$ шага: $\left\langle L_{N}^{2} \right\rangle=N\lambda^{2}$ | |||
| Теперь, чтобы вернуться от квадратов к обычному линейному расстоянию, извлечём квадратный корень: | |||
| $$L\sim \sqrt{\left\langle L_{N}^{2} \right\rangle}=\lambda\sqrt{N}$$ | |||
| Вернёмся к нашей изначальной задаче. Молекула пара в вашей задаче это и есть такой «матрос». Она совершает $N$ столкновений, каждое длиной $\lambda$ (длина свободного пробега). Чтобы пройти весь сосуд длиной $L$, нужно, чтобы её чистое смещение стало равным $L$: | |||
| $$L=\lambda\sqrt{N}\Longrightarrow N=\frac{L^{2}}{\lambda^{2}}$$ | |||
| Так как время одного шага (полёта между столкновениями): | |||
| $$\Delta t=\frac{\lambda}{\upsilon}$$ | |||
| то общее время диффузии: | |||
| $$\tau=N\cdot \Delta t=\frac{L^{2}}{\lambda^{2}}\cdot \frac{\lambda}{\upsilon}=\frac{L^{2}}{\lambda\upsilon}$$ | |||
| Молекулярно-кинетическая теория показывает, что коэффициент диффузии $D\sim \lambda\upsilon$, тогда: | |||
| $$\tau\approx \frac{L^{2}}{D}$$ | |||
| У Савченко здесь очередная опечатка (его ответ по размерности не подходит). | |||
| Для оценки массы применим закон Фика в интегральной форме для одномерного случая: | |||
| $$\dot{m}=DS\frac{\Delta\rho}{\Delta x}$$ | |||
| На открытом конце сосуда плотность пара равна $\rho$, а на холодном дне пар мгновенно замерзает, поэтому его плотность равна 0. Изменение плотности на всей длине сосуда $L$ будет $\Delta\rho=\rho-0=\rho$, тогда: | |||
| $$\frac{\Delta\rho}{\Delta x}=\frac{\rho}{L}$$ | |||
| Окончательно: | |||
| $$\dot{m}=\frac{DS\rho}{L}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$t\approx \frac{L^{2}}{D}$$ | ||
| $$\dot{m}=\frac{DS\rho}{L}$$ | |||