Решение

Начальная скорость равна 0, поэтому
$$v=\int_0^t a dt\tag{1}$$
$II$ закон Ньютона:
$$F=-Ee=am_e \tag{2}$$
Сделаем замену $a_0=\frac{eE_0}{m_e}$, $(2)\to(1)$
$$v(t)=-a_0\int_0^t \sin (\omega t + \varphi) dt=\frac{eE_0}{m_e\omega} \left(\cos (\omega t + \varphi)-\cos \varphi\right)\tag{3}$$
Учитывая множество значения косинуса, выражение в скобках может принимать значения $[-1-\cos \varphi;1-\cos \varphi]$. Тут надо быть аккуратным: помнить, что нам надо максимальный модуль скорости, и что $\cos \varphi$ может быть как положительным, так и отрицательным. В итоге, анализируя $(3)$, получим
$$v_{max}=\frac{eE_0}{m_e\omega}(1+|\cos\varphi|)$$
Понятно, что скорость меняется периодично с периодом $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Тогда среднее значение
$$\bar{v}=\frac{1}{T}\int_0^Tv(t)dt\tag{4}$$
Позволю себе пропустить вычисление интеграла - помня, что интеграл от косинуса по его периоду равен $0$, это можно сделать очень быстро. В итоге получим, беря по модулю:
$$\bar{v}=\frac{eE_0}{m_e\omega}\cos\varphi$$

В авторском ответе опечатка