Решение

По определению средняя мощность силы:

$$N=\left\langle F\cdot \upsilon \right\rangle$$

усреднение будет идти по времени. Скорость частицы найдем дифференцированием координаты:

$$\upsilon=\frac{dx}{dt}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi)$$

Подставим в выражение для средней мощности силу и скорость:

$$N=\left\langle F_{0}\cos\omega t\cdot (-A\omega \sin(\omega t-\varphi)) \right\rangle$$
$$N=-AF_{0}\omega\left\langle \cos\omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi) \right\rangle \tag{1}$$

Воспользуемся тригонометрической формулой:

$$\cos\omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi)=\frac{1}{2}\left[ \sin(2\omega t-\varphi)-\sin\varphi \right] \tag{2}$$

Подставим (2) в (1):

$$N=-AF_{0}\omega\left\langle \frac{1}{2}\left[ \sin(2\omega t-\varphi)-\sin\varphi \right] \right\rangle=-\frac{1}{2}A\omega F_{0}\left\langle \sin(2\omega t-\varphi) \right\rangle+\frac{1}{2}A\omega F_{0}\sin\varphi$$

Среднее значение за период функции $\sin(2\omega t-\varphi)$ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отрицательных). Окончательно получим:

$$N=\frac{1}{2}\omega F_{0}A\sin\varphi$$