### Условие ### Условие $ 3.4.14. $ Частица при действии на нее силы $ F=F_ { 0 } \cos\omega t $ колеблется по закону $ x=A \cos ( \omega t- \varphi ) $ . Какова средняя мощность этой силы?$ 3.4.14. $ Частица при действии на нее силы $ F=F_ { 0 } \cos\omega t $ колеблется по закону $ x=A \cos ( \omega t- \varphi ) $ . Какова средняя мощность этой силы?### Решение ### Решение По определению средняя мощность силы: По определению средняя мощность силы: $$ N= \left\langle F \cdot \upsilon \right\rangle $$ $$ N= \left\langle F \cdot \upsilon \right\rangle $$ усреднение будет идти по времени. Скорость частицы найдем дифференцированием координаты: усреднение будет идти по времени. Скорость частицы найдем дифференцированием координаты: $$ \upsilon = \frac { dx }{ dt } =-A \omega \sin ( \omega t- \varphi ) $$ $$ \upsilon = \frac { dx }{ dt } =-A \omega \sin ( \omega t- \varphi ) $$ Подставим в выражение для средней мощности силу и скорость: Подставим в выражение для средней мощности силу и скорость: $$ N= \left\langle F_ { 0 } \cos\omega t \cdot (-A \omega \sin ( \omega t- \varphi )) \right\rangle $$ $$ N= \left\langle F_ { 0 } \cos\omega t \cdot (-A \omega \sin ( \omega t- \varphi )) \right\rangle $$ $$ N=-AF_ { 0 } \omega\left\langle \cos\omega t \cdot \sin ( \omega t- \varphi ) \right\rangle \tag { 1 } $$ $$ N=-AF_ { 0 } \omega\left\langle \cos\omega t \cdot \sin ( \omega t- \varphi ) \right\rangle \tag { 1 } $$ Воспользуемся тригонометрической формулой: Воспользуемся тригонометрической формулой: $$ \cos\omega t \cdot \sin ( \omega t- \varphi )= \frac { 1 }{ 2 } \left [ \sin (2 \omega t- \varphi )- \sin\varphi \right ] \tag { 2 } $$ $$ \cos\omega t \cdot \sin ( \omega t- \varphi )= \frac { 1 }{ 2 } \left [ \sin (2 \omega t- \varphi )- \sin\varphi \right ] \tag { 2 } $$ Подставим (2) в (1): Подставим (2) в (1): $$ N=-AF_ { 0 } \omega\left\langle \frac { 1 }{ 2 } \left [ \sin (2 \omega t- \varphi )- \sin\varphi \right ] \right\rangle =- \frac { 1 }{ 2 } A \omega F_ { 0 } \left\langle \sin (2 \omega t- \varphi ) \right\rangle + \frac { 1 }{ 2 } A \omega F_ { 0 } \sin\varphi $$ $$ N=-AF_ { 0 } \omega\left\langle \frac { 1 }{ 2 } \left [ \sin (2 \omega t- \varphi )- \sin\varphi \right ] \right\rangle =- \frac { 1 }{ 2 } A \omega F_ { 0 } \left\langle \sin (2 \omega t- \varphi ) \right\rangle + \frac { 1 }{ 2 } A \omega F_ { 0 } \sin\varphi $$ Среднее значение за период функции $ \sin (2 \omega t- \varphi ) $ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отрицательных). Окончательно получим: Среднее значение за период функции $ \sin (2 \omega t- \varphi ) $ равно 0 (одинаковый вклад как положителных значений, так и отрицательных). Окончательно получим:
@@ -30,6 +30,76 @@Решение
$$ N= \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $$ $$ N= \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $$
### Альтернативное решение
Мощность по определению
$$
P=Fv.
$$
Скорость
$$
v= \dot x=-A \omega\sin\left ( \omega t- \varphi\right ).
$$
По формуле приведения это пишем через косинус
\begin {multline*}
v=-A\omega\sin\left (\pi /2+\omega t-\varphi -\pi /2\right )=\\\\
-A\omega\cos\left (\omega t-\varphi -\pi /2\right )
\end {multline*}
Подставляем это в мощность с учетом для силы
$$
P=-F_0A \omega\cos\left ( \omega t \right ) \cos\left ( \omega t- \varphi - \pi /2 \right )
$$
и используем тригонометрическое
$$
2 \cos\alpha\cos\beta = \cos ( \alpha + \beta )+ \cos ( \alpha - \beta ),
$$
что дает
$$
P=- \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )+ \cos ( \varphi + \pi /2) \right ].
$$
или
$$
P=- \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )- \sin\varphi\right ].
$$
Средняя мощность за период
$$
\langle P \rangle = \langle - \frac { F_0A \omega }{ 2 } \left [ \cos\left (2 \omega t- \varphi - \pi /2 \right )- \sin\varphi\right ] \rangle .
$$
Равна сумме средних правой части
$$
\langle P \rangle = \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi
$$
(использовали, что среднее первого слагаемого равно нулю).
#### Литература
[1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru.
[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.
[3] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.
#### Ответ #### Ответ
$ N= \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $ $ N= \frac { 1 }{ 2 } \omega F_ { 0 } A \sin\varphi $
