Edits to “Условие”, “Решение”, “Литература”

igor edited
View solution History
revision #19404 parent #19403 ← older newer →
ru/3.4.13.md +129 −3
@@ -1,11 +1,137 @@
### Условие
−$3.4.13.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.4.13^*.$ Пусть концы пружины (см. задачу $3.4.12$) перемещаются с разной частотой:
+$$
+x_1 = A\cos\omega_1 t,\quad x_2 = A\cos\omega_2 t.
+$$
+
+Как в этом случае меняется сила натяжения пружины со временем? Постройте график зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот. Почему здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд и частот среднюю энергию пружины за большое время.
+
### Решение
−123
+По результатам задачи $3.4.12$:
+$$
+F=k\left(x_2-x_1\right),
+$$
+
+что по тригонометрии
+
+$$
+\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}
+$$
+
+дает
+
+$$
+F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).
+$$
+
+График зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот:
+
+![|1405x556, 50%](../../img/3.4.13/3.4.13a.png)
+
+Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.
+
+Закон для энергии
+
+$$
+E=\frac{k}{2}\left[A_2\cos(\omega_2 t)-A_1\cos(\omega_1 t)\right]^2.\tag{1}
+$$
+
+Среднее значение $\langle E\rangle$ за большое время (для удобства можно считать при времени $t\to\infty$) есть среднее правой части формулы $(1)$. Правую часть разложим на слагаемые раскрытием квадрата и применим свойство, что среднее суммы равно сумме средних.
+
+$$
+\langle E\rangle=\langle E_1\rangle+\langle E_2\rangle+\langle E_3\rangle,
+$$
+
+где $\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle,\langle E_1\rangle$ есть слагаемые правой части $(2)$ после раскрытия квадрата.
+
+Первое слагаемое:
+
+$$
+\langle E_1\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2^2\cos^2(\omega_2 t)\rangle
+$$
+
+равно
+
+$$
+\boxed{\langle E_1\rangle=\frac{k}{2}A_2^2\frac{1}{2}}
+$$
+
+(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).
+
+Второе слагаемое:
+
+$$
+\langle E_2\rangle=\langle kA_2\cos(\omega_2 t)A_1\cos(\omega_1 t)\rangle
+$$
+
+преобразуем с использованием тригонометрической формулы
+
+$$
+2\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
+$$
+
+в
+
+$$
+\langle E_2\rangle=\langle\frac{k}{2}A_2A_1\left[\cos\big((\omega_2+\omega_1)t\big)+\cos\big((\omega_2-\omega_1)t\big)\right]\rangle.
+$$
+
+Оно равно
+
+$$
+\boxed{\langle E_2\rangle=0.}
+$$
+
+(использовали свойство среднего суммы и что среднее значение косинуса равно $0$).
+
+Третье слагаемое:
+
+$$
+\langle E_3\rangle=\langle\frac{k}{2}A_1^2\cos^2(\omega_1 t)\rangle
+$$
+
+равно
+
+$$
+\boxed{\langle E_3\rangle=\frac{k}{2}A_1^2\frac{1}{2}}
+$$
+
+(использовали, что среднее значение косинуса в квадрате равно $1/2$).
+
+В итоге сложим слагаемые энергии в рамках в ответ
+
+$$
+\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2].
+$$
+
+
+#### Литература
+
+[1] И. Яковлев. Среднее значение функции. Материалы по физике. mathus.ru.
+
+[2] Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. ИТФ Ландау. 1982.
+
+[3] Г.Я. Мякишев. Расчёт цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм. «Квант», 1976, №2.
+
+[4] И. Яковлев. Векторы в физике. mathus.ru.
+
+[5] И. Яковлев. Тригонометрические формулы. mathus.ru.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$
+F=2kA\sin\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t\right)\sin\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{2}t\right).
+$$
+
+![|1405x556, 50%](../../img/3.4.13/3.4.13a.png)
+
+Можно говорить о биениях, так как амплитуда колеблющейся функции меняется периодически.
+
+$$
+\langle E\rangle=\frac{k}{4}[A_1^2+A_2^2].
+$$