Решение

Пункт а

Из симметрии при встречном движении центр средней пружины на месте и второй закон Ньютона для каждого

$$-kx-2kx=m\ddot x$$

(каждое тело колеблется как на одной целой пружине с одной стороны и половине целой с другой стороны).

Отсюда первая нормальная частота (быстрая)

$$\omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}}.$$

Из симметрии при согласном движении средняя пружина не деформируется и второй закон Ньютона для каждого

$$-kx=m\ddot x$$

(каждое тело колеблется как на одной целой пружине).

Отсюда вторая нормальная частота (медленная)

$$\omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Пункт б

Из свойств гармонических колебаний скорость первого при встречном и согласном движениях $v_1^{(1)},v_2^{(1)}$ соответственно

\begin{gather*} v_1^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_1t,\\ v_2^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_2t. \end{gather*}

По условию $x=x_1+x_2$, значит, $v=v_1+v_2$ (по взятию производной).

Поэтому скорость первого истинная

$$v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right).$$

Для второго тела аналогичными рассуждениями получаем

$$v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right).$$

Уравнения координат каждого тела находим интегрированием их скоростей

\begin{gather*} x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t+\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t\right),\\ x^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right) \end{gather*}

(учтено, для постоянных интегрирования, что при $t=0$ имеем $x^{(1)}=0$ и $x^{(2)}=0$).

Сумма гармонических функций с иррациональным отношением частот по фигурам Лиссажу показывает, что возможны все одновременные комбинации значений этих функций из их областей значений. Значит, возможно одновременно получить максимумы функций в скобках функций $x^{(1)}$ и $x^{(2)}$:

\begin{gather*} x_\text{max}^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\ x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right). \end{gather*}

Для пружины средней

$$\Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right),$$

то есть ее максимальное удлинение

$$\Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}.$$

Пункт в

По идее пункта б считаем последующее движение суммой двух таких: движения шариков, которым сообщили скорость $2v$ и $2v$, и движения шариков, которым сообщили скорость $v$ и $-v$.

Для первого скорость истинная

$$v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right).$$

Для второго скорость истинная

$$v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right).$$

Их координаты так же как и в пункте б находим:

$$x^{(1)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t+\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right)$$

и

$$x^{(2)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right)$$

Их максимумы при одновременных максимумах подскобочных функций (синусов) достижимы по фигурам Лиссажу. То есть

$$x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right).$$

Для пружины средней

$$\Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=v\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right),$$

то есть ее максимальное удлинение

$$\Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}.$$

Обоснования метода для сложных колебательных систем на физ. уровне в книгах [1, 2]. Дополнительная книга [2] содержит элементарные справочные сведения по этому вопросу.

С савченко один ответ не совпадает.