| | | |
| | | |
| #### Пункт а | | #### Пункт а |
| | | |
| Из симметрии при встречном движении центр средней пружины на месте и второй закон Ньютона для каждого | | Из симметрии при встречном движении центр средней пружины на месте и второй закон Ньютона для каждого |
| | | |
| $$ | | $$ |
| -kx-2kx=m\ddot x | | -kx-2kx=m\ddot x |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (каждое тело колеблется как на одной целой пружине с одной стороны и половине целой с другой стороны). | | (каждое тело колеблется как на одной целой пружине с одной стороны и половине целой с другой стороны). |
| | | |
| Отсюда первая нормальная частота (быстрая) | | Отсюда первая нормальная частота (быстрая) |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}}. | | \omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Из симметрии при согласном движении средняя пружина не деформируется и второй закон Ньютона для каждого | | Из симметрии при согласном движении средняя пружина не деформируется и второй закон Ньютона для каждого |
| | | |
| $$ | | $$ |
| -kx=m\ddot x | | -kx=m\ddot x |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (каждое тело колеблется как на одной целой пружине). | | (каждое тело колеблется как на одной целой пружине). |
| | | |
| Отсюда вторая нормальная частота (медленная) | | Отсюда вторая нормальная частота (медленная) |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}. | | \omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Пункт б | | #### Пункт б |
| | | |
| Из свойств гармонических колебаний скорость первого при встречном и согласном движениях $v_1^{(1)},v_2^{(1)}$ соответственно | | Из свойств гармонических колебаний скорость первого при встречном и согласном движениях $v_1^{(1)},v_2^{(1)}$ соответственно |
| | | |
| \begin{gather*} | | \begin{gather*} |
| v_1^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_1t,\\\\ | | v_1^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_1t,\\\\ |
| v_2^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_2t. | | v_2^{(1)}=\frac{v}{2}\cos\omega_2t. |
| \end{gather*} | | \end{gather*} |
| | | |
| По условию $x=x_1+x_2$, значит, $v=v_1+v_2$ (по взятию производной). | | По условию $x=x_1+x_2$, значит, $v=v_1+v_2$ (по взятию производной). |
| | | |
| Поэтому скорость первого истинная | | Поэтому скорость первого истинная |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right). | | v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для второго тела аналогичными рассуждениями получаем | | Для второго тела аналогичными рассуждениями получаем |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right). | | v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Уравнения координат каждого тела находим интегрированием их скоростей | | Уравнения координат каждого тела находим интегрированием их скоростей |
| | | |
| \begin{gather*} | | \begin{gather*} |
| x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t+\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t\right),\\\\ | | x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t+\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t\right),\\\\ |
| x^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right) | | x^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right) |
| \end{gather*} | | \end{gather*} |
| | | |
| (учтено, для постоянных интегрирования, что при $t=0$ имеем $x^{(1)}=0$ и $x^{(2)}=0$). | | (учтено, для постоянных интегрирования, что при $t=0$ имеем $x^{(1)}=0$ и $x^{(2)}=0$). |
| | | |
| Сумма гармонических функций с иррациональным отношением частот по фигурам Лиссажу показывает, что возможны все одновременные комбинации значений этих функций из их областей значений. Значит, возможно одновременно получить максимумы функций в скобках функций $x^{(1)}$ и $x^{(2)}$: | | Сумма гармонических функций с иррациональным отношением частот по фигурам Лиссажу показывает, что возможны все одновременные комбинации значений этих функций из их областей значений. Значит, возможно одновременно получить максимумы функций в скобках функций $x^{(1)}$ и $x^{(2)}$: |
| | | |
| \begin{gather*} | | \begin{gather*} |
| x_\text{max}^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\\\ | | x_\text{max}^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\\\ |
| x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right). | | x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right). |
| \end{gather*} | | \end{gather*} |
| | | |
| Для пружины средней | | Для пружины средней |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right), | | \Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=\frac{v}{2}\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| то есть ее максимальное удлинение | | то есть ее максимальное удлинение |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}. | | \Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Пункт в | | #### Пункт в |
| | | |
| По идее пункта б считаем последующее движение суммой двух таких: движения шариков, которым сообщили скорость $2v$ и $2v$, и движения шариков, которым сообщили скорость $v$ и $-v$. | | По идее пункта б считаем последующее движение суммой двух таких: движения шариков, которым сообщили скорость $2v$ и $2v$, и движения шариков, которым сообщили скорость $v$ и $-v$. |
| | | |
| Для первого скорость истинная | | Для первого скорость истинная |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right). | | v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для второго скорость истинная | | Для второго скорость истинная |
| | | |
| $$ | | $$ |
| v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right). | | v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Их координаты так же как и в пункте б находим: | | Их координаты так же как и в пункте б находим: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x^{(1)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t+\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right) | | x^{(1)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t+\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и | | и |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x^{(2)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right) | | x^{(2)}=v\left(\frac{1}{\omega_2}2\sin\omega_2t-\frac{1}{\omega_1}\sin\omega_1t\right) |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Их максимумы при одновременных максимумах подскобочных функций (синусов) достижимы по фигурам Лиссажу. То есть | | Их максимумы при одновременных максимумах подскобочных функций (синусов) достижимы по фигурам Лиссажу. То есть |
| | | |
| $$ | | $$ |
| x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right). | | x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Для пружины средней | | Для пружины средней |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=v\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right), | | \Delta=x^{(2)}-x^{(1)}=v\left(-\frac{2}{\omega_1}\sin\omega_1t\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| то есть ее максимальное удлинение | | то есть ее максимальное удлинение |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}. | | \Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Обоснования метода для сложных колебательных систем на физ. уровне в книгах [1,2]. Дополнительная книга [2] содержит элементарные справочные сведения по этому вопросу. | | Обоснования метода для сложных колебательных систем на физ. уровне в книгах [1,2]. Дополнительная книга [2] содержит элементарные справочные сведения по этому вопросу. |
| | | |
| | | |
| С савченко один ответ не совпадает. | | С савченко один ответ не совпадает. |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Механика (в 10 т.). | | [1] Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Механика (в 10 т.). |
| | | |
| [2] Зоммерфельд А. Механика. (Лекции по теоретической физике.) | | [2] Зоммерфельд А. Механика. (Лекции по теоретической физике.) |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| а. | | а. |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}},\quad \omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}. | | \omega_1=\sqrt{\frac{3k}{m}},\quad \omega_2=\sqrt{\frac{k}{m}}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| б. | | б. |
| | | |
| \begin{gather*} | | \begin{gather*} |
| v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right),\\\\ | | v^{(1)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_1t+\cos\omega_2t\right),\\\\ |
| v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right),\\\\ | | v^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right),\\\\ |
| x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\\\ | | x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=\frac{v}{2}\left(\frac{1}{\omega_1}+\frac{1}{\omega_2}\right),\\\\ |
| \Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}. | | \Delta_\text{max}=\frac{v}{\omega_1}. |
| \end{gather*} | | \end{gather*} |
| | | |
| в. | | в. |
| | | |
| \begin{gather*} | | \begin{gather*} |
| v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right),\\\\ | | v^{(1)}=v\left(2\cos\omega_2t+\cos\omega_1t\right),\\\\ |
| v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right),\\\\ | | v^{(2)}=v\left(2\cos\omega_2t-\cos\omega_1t\right),\\\\ |
| x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right),\\\\ | | x_\text{max}^{(1)}=x_\text{max}^{(2)}=v\left(\frac{2}{\omega_2}+\frac{1}{\omega_1}\right),\\\\ |
| \Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}. | | \Delta_\text{max}=\frac{2v}{\omega_1}. |
| \end{gather*} | | \end{gather*} |
