Решение

NO: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением 1.5.14

В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка

$$x = v_A t\tag{1}$$

Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$

$$dl = 2 (\sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\sqrt{L^2 + x^2})$$

$$dl = 2 \sqrt{L^2 + x^2}\cdot\left(\sqrt{1 + \frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\right)$$

Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$:

$$dl =2 \frac{xdx}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$

Учитывая, что $v_B = \frac{dl}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$

$$v_B = 2 \frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}} \frac{dx}{dt}$$

$$v_B = 2 v_A\frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$

Подставляем $(1):$

$$\fbox{$v_B = 2 \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}$$

NO: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в "Очень длинных физических задачах" А.И.Слободянюка(Задача 2)