$14.1.9.$ «. . . Космический объект приближался к Земле. Навстречу ему мчалась самая быстрая космическая лаборатория. “Какова скорость сближения объекта и лаборатории?” — запросил с Земли генерал, руководитель встречи.
“В системе Земли или нашей лаборатории?” — отозвался оператор лаборатории. “Какая разница”, — ответил генерал. “Эти скорости уже отличаются на 0,01 %, — неслось из космоса. — Сейчас мы достигли скорости сближения ровно 100 000 км/с в нашей системе и больше мы ее не меняем”. “Как измеряете скорость?” — спросил генерал. “Так же, как и вы, мы установили пассивную связь с объектом. Радарный импульс постоянно курсирует между нами и объектом, отражаясь попеременно то от нашей лаборатории, то от объекта. Скорость сближения определяется по изменению времени возвращения импульса”. “Это верно, когда радарный импульс и удаляется, и приближается к лаборатории со скоростью, равной скорости света, — подумал генерал. — Тогда скорость приближения объекта определяется только отношением двух соседних времен. Но у них не так. Когда они догоняют отраженный импульс, скорость импульса c уменьшается на величину скорости лаборатории и на столько же увеличивается, когда импульс летит навстречу”. Неожиданно для себя генерал спросил у оператора: “Какая скорость сближения получилась бы у вас, если бы мы сообщили с Земли наблюдаемые нами скорости импульса по отношению к лаборатории и вы воспользовались бы этими величинами для расчета скорости объекта по времени возвращения импульса? Наверняка, ту же самую, что мы видели с Земли”. “Да, генерал,” — со скоростью света полетел ответ на Землю. У генерала мелькнула мысль: “Лукавят физики. Просто не могут измерить скорость импульса. Нет масштаба. И принимают ее равной скорости света. Отсюда — все несовпадения”».
Этот отрывок из еще неопубликованного научно-фантастического рассказа вызвал следующие вопросы. Насколько прав генерал? Чему равна скорость объекта и лаборатории в системе «Земля»?
### Решение
#### 1. Анализ радарного импульса и парадокс генерала
Физически генерал ошибается: согласно второму постулату СТО, скорость света в вакууме строго равна $c$ для любого инерциального наблюдателя. Ученые в лаборатории измеряют скорость сближения $v$ через времена возвращения импульсов $\tau_1$ и $\tau_2$ абсолютно корректно:
$$ v = c \frac{\tau_1 - \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = c \frac{k - 1}{k + 1}$$
где $k = \tau_1/\tau_2$ — отношение времен.
Однако интуиция генерала приводит к удивительному результату. Если применить к свету классический закон сложения скоростей (импульс удаляется со скоростью $c-u$ и возвращается со скоростью $c+u$, где $u$ — скорость лаборатории относительно Земли), то рассчитанная таким образом скорость $v'$ выразится как:
Потрясающий факт заключается в том, что эта формула $v'$ в точности совпадает с истинной скоростью сближения объекта и лаборатории в системе отсчета «Земля»!
Почему это не случайное совпадение?
Секрет кроется в параметре $k$. При переходе от системы лаборатории к системе Земли оба интервала времени ($\tau_1$ и $\tau_2$) подвергаются одинаковому релятивистскому замедлению (умножаются на фактор Лоренца $\gamma$). Поскольку оба времени растягиваются пропорционально, их отношение $k$ остается инвариантным. Генерал использует неверные абсолютные значения классических скоростей, но при вычислениях эти ошибки идеально сокращаются. Математика геометрии пространства-времени скрыто исправляет ошибку генерала, выдавая верный релятивистский результат.
#### 2. Расчет скорости лаборатории
По условию разница между земной скоростью сближения $v'$ и лабораторной $v$ составляет $0,01\%$, то есть долю $\alpha = 10^{-4}$. Запишем их разность:
$$ v' - v = \frac{v\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right)}{1 - \frac{uv}{c^2}} - v = v \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha v $$
Сокращаем $v$ и выражаем скорость лаборатории $u$. Поскольку $\alpha = 10^{-4}\ll 1$, искомая скорость лаборатории крайне мала ($u \ll v$). Пренебрегая величиной $u$ по сравнению с $v$ в числителе и слагаемым $uv$ по сравнению с $c^2$ в знаменателе, упрощаем уравнение:
$$\frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha\implies u \approx\frac{\alpha c^2}{v}$$
Подставляем известные значения ($c = 300\,000$ км/с, $v = 100\,000$ км/с):
Эта скорость принадлежит самой быстрой земной космической лаборатории (что является колоссальным значением для человеческих технологий).
#### 3. Расчет скорости объекта
@@ -36,9 +36,15 @@3. Расчет скорости объекта
Скорость объекта относительно Земли $v_0$ по релятивистскому закону сложения скоростей связана со скоростью лаборатории $u$ и их относительной скоростью сближения $v$ как:
$$ v_0 = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}}$$
−
Учитывая, что $vu \ll c^2$ (знаменатель близок к единице), мы можем с огромной точностью использовать приближение:
−
$$ v_0 \approx v - u = 100\,000 - 90 = 99\,910 \text{ км/с}$$
+
Здесь нельзя пренебрегать знаменателем, так как именно он несет в себе поправку, обуславливающую релятивистский эффект в $0,01\%$. Рассчитаем точное значение:
(Проверка: скорость сближения в системе Земли $v' = v_0 + u = 99\,920 + 90 = 100\,010 \text{ км/с}$, что в точности равно $100\,000 \cdot 1{,}0001$, как и сказано в условии).
+
### Ответ
1. Генерал неправ физически (скорость света инвариантна), но прав математически: благодаря инвариантности отношения времен $k$, расчет по его классическим формулам парадоксально дает истинную скорость сближения в системе «Земля».
−
2. Скорость лаборатории $u \approx 90$ км/с; скорость объекта $v_0 \approx 99\,910$ км/с.
+
2. Скорость лаборатории $u \approx 90$ км/с; скорость объекта $v_0 \approx 99\,920$ км/с.
### Условие
### Условие
$14.1.9.$ «. . . Космический объект приближался к Земле. Навстречу ему мчалась самая быстрая космическая лаборатория. “Какова скорость сближения объекта и лаборатории?” — запросил с Земли генерал, руководитель встречи.
$14.1.9.$ «. . . Космический объект приближался к Земле. Навстречу ему мчалась самая быстрая космическая лаборатория. “Какова скорость сближения объекта и лаборатории?” — запросил с Земли генерал, руководитель встречи.
“В системе Земли или нашей лаборатории?” — отозвался оператор лаборатории. “Какая разница”, — ответил генерал. “Эти скорости уже отличаются на 0,01 %, — неслось из космоса. — Сейчас мы достигли скорости сближения ровно 100 000 км/с в нашей системе и больше мы ее не меняем”. “Как измеряете скорость?” — спросил генерал. “Так же, как и вы, мы установили пассивную связь с объектом. Радарный импульс постоянно курсирует между нами и объектом, отражаясь попеременно то от нашей лаборатории, то от объекта. Скорость сближения определяется по изменению времени возвращения импульса”. “Это верно, когда радарный импульс и удаляется, и приближается к лаборатории со скоростью, равной скорости света, — подумал генерал. — Тогда скорость приближения объекта определяется только отношением двух соседних времен. Но у них не так. Когда они догоняют отраженный импульс, скорость импульса c уменьшается на величину скорости лаборатории и на столько же увеличивается, когда импульс летит навстречу”. Неожиданно для себя генерал спросил у оператора: “Какая скорость сближения получилась бы у вас, если бы мы сообщили с Земли наблюдаемые нами скорости импульса по отношению к лаборатории и вы воспользовались бы этими величинами для расчета скорости объекта по времени возвращения импульса? Наверняка, ту же самую, что мы видели с Земли”. “Да, генерал,” — со скоростью света полетел ответ на Землю. У генерала мелькнула мысль: “Лукавят физики. Просто не могут измерить скорость импульса. Нет масштаба. И принимают ее равной скорости света. Отсюда — все несовпадения”».
“В системе Земли или нашей лаборатории?” — отозвался оператор лаборатории. “Какая разница”, — ответил генерал. “Эти скорости уже отличаются на 0,01 %, — неслось из космоса. — Сейчас мы достигли скорости сближения ровно 100 000 км/с в нашей системе и больше мы ее не меняем”. “Как измеряете скорость?” — спросил генерал. “Так же, как и вы, мы установили пассивную связь с объектом. Радарный импульс постоянно курсирует между нами и объектом, отражаясь попеременно то от нашей лаборатории, то от объекта. Скорость сближения определяется по изменению времени возвращения импульса”. “Это верно, когда радарный импульс и удаляется, и приближается к лаборатории со скоростью, равной скорости света, — подумал генерал. — Тогда скорость приближения объекта определяется только отношением двух соседних времен. Но у них не так. Когда они догоняют отраженный импульс, скорость импульса c уменьшается на величину скорости лаборатории и на столько же увеличивается, когда импульс летит навстречу”. Неожиданно для себя генерал спросил у оператора: “Какая скорость сближения получилась бы у вас, если бы мы сообщили с Земли наблюдаемые нами скорости импульса по отношению к лаборатории и вы воспользовались бы этими величинами для расчета скорости объекта по времени возвращения импульса? Наверняка, ту же самую, что мы видели с Земли”. “Да, генерал,” — со скоростью света полетел ответ на Землю. У генерала мелькнула мысль: “Лукавят физики. Просто не могут измерить скорость импульса. Нет масштаба. И принимают ее равной скорости света. Отсюда — все несовпадения”».
Этот отрывок из еще неопубликованного научно-фантастического рассказа вызвал следующие вопросы. Насколько прав генерал? Чему равна скорость объекта и лаборатории в системе «Земля»?
Этот отрывок из еще неопубликованного научно-фантастического рассказа вызвал следующие вопросы. Насколько прав генерал? Чему равна скорость объекта и лаборатории в системе «Земля»?
### Решение
### Решение
#### 1. Анализ радарного импульса и парадокс генерала
#### 1. Анализ радарного импульса и парадокс генерала
Физически генерал ошибается: согласно второму постулату СТО, скорость света в вакууме строго равна $c$ для любого инерциального наблюдателя. Ученые в лаборатории измеряют скорость сближения $v$ через времена возвращения импульсов $\tau_1$ и $\tau_2$ абсолютно корректно:
Физически генерал ошибается: согласно второму постулату СТО, скорость света в вакууме строго равна $c$ для любого инерциального наблюдателя. Ученые в лаборатории измеряют скорость сближения $v$ через времена возвращения импульсов $\tau_1$ и $\tau_2$ абсолютно корректно:
$$ v = c \frac{\tau_1 - \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = c \frac{k - 1}{k + 1}$$
$$ v = c \frac{\tau_1 - \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = c \frac{k - 1}{k + 1}$$
где $k = \tau_1/\tau_2$ — отношение времен.
где $k = \tau_1/\tau_2$ — отношение времен.
Однако интуиция генерала приводит к удивительному результату. Если применить к свету классический закон сложения скоростей (импульс удаляется со скоростью $c-u$ и возвращается со скоростью $c+u$, где $u$ — скорость лаборатории относительно Земли), то рассчитанная таким образом скорость $v'$ выразится как:
Однако интуиция генерала приводит к удивительному результату. Если применить к свету классический закон сложения скоростей (импульс удаляется со скоростью $c-u$ и возвращается со скоростью $c+u$, где $u$ — скорость лаборатории относительно Земли), то рассчитанная таким образом скорость $v'$ выразится как:
Потрясающий факт заключается в том, что эта формула $v'$ в точности совпадает с истинной скоростью сближения объекта и лаборатории в системе отсчета «Земля»!
Потрясающий факт заключается в том, что эта формула $v'$ в точности совпадает с истинной скоростью сближения объекта и лаборатории в системе отсчета «Земля»!
Почему это не случайное совпадение?
Почему это не случайное совпадение?
Секрет кроется в параметре $k$. При переходе от системы лаборатории к системе Земли оба интервала времени ($\tau_1$ и $\tau_2$) подвергаются одинаковому релятивистскому замедлению (умножаются на фактор Лоренца $\gamma$). Поскольку оба времени растягиваются пропорционально, их отношение $k$ остается инвариантным. Генерал использует неверные абсолютные значения классических скоростей, но при вычислениях эти ошибки идеально сокращаются. Математика геометрии пространства-времени скрыто исправляет ошибку генерала, выдавая верный релятивистский результат.
Секрет кроется в параметре $k$. При переходе от системы лаборатории к системе Земли оба интервала времени ($\tau_1$ и $\tau_2$) подвергаются одинаковому релятивистскому замедлению (умножаются на фактор Лоренца $\gamma$). Поскольку оба времени растягиваются пропорционально, их отношение $k$ остается инвариантным. Генерал использует неверные абсолютные значения классических скоростей, но при вычислениях эти ошибки идеально сокращаются. Математика геометрии пространства-времени скрыто исправляет ошибку генерала, выдавая верный релятивистский результат.
#### 2. Расчет скорости лаборатории
#### 2. Расчет скорости лаборатории
По условию разница между земной скоростью сближения $v'$ и лабораторной $v$ составляет $0,01\%$, то есть долю $\alpha = 10^{-4}$. Запишем их разность:
По условию разница между земной скоростью сближения $v'$ и лабораторной $v$ составляет $0,01\%$, то есть долю $\alpha = 10^{-4}$. Запишем их разность:
$$ v' - v = \frac{v\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right)}{1 - \frac{uv}{c^2}} - v = v \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha v $$
$$ v' - v = \frac{v\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right)}{1 - \frac{uv}{c^2}} - v = v \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha v $$
Сокращаем $v$ и выражаем скорость лаборатории $u$. Поскольку $\alpha = 10^{-4}\ll 1$, искомая скорость лаборатории крайне мала ($u \ll v$). Пренебрегая величиной $u$ по сравнению с $v$ в числителе и слагаемым $uv$ по сравнению с $c^2$ в знаменателе, упрощаем уравнение:
Сокращаем $v$ и выражаем скорость лаборатории $u$. Поскольку $\alpha = 10^{-4}\ll 1$, искомая скорость лаборатории крайне мала ($u \ll v$). Пренебрегая величиной $u$ по сравнению с $v$ в числителе и слагаемым $uv$ по сравнению с $c^2$ в знаменателе, упрощаем уравнение:
$$\frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha\implies u \approx\frac{\alpha c^2}{v}$$
$$\frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha\implies u \approx\frac{\alpha c^2}{v}$$
Подставляем известные значения ($c = 300\,000$ км/с, $v = 100\,000$ км/с):
Подставляем известные значения ($c = 300\,000$ км/с, $v = 100\,000$ км/с):
Эта скорость принадлежит самой быстрой земной космической лаборатории (что является колоссальным значением для человеческих технологий).
Эта скорость принадлежит самой быстрой земной космической лаборатории (что является колоссальным значением для человеческих технологий).
#### 3. Расчет скорости объекта
#### 3. Расчет скорости объекта
@@ -36,9 +36,15 @@3. Расчет скорости объекта
Скорость объекта относительно Земли $v_0$ по релятивистскому закону сложения скоростей связана со скоростью лаборатории $u$ и их относительной скоростью сближения $v$ как:
Скорость объекта относительно Земли $v_0$ по релятивистскому закону сложения скоростей связана со скоростью лаборатории $u$ и их относительной скоростью сближения $v$ как:
$$ v_0 = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}}$$
$$ v_0 = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}}$$
Учитывая, что $vu \ll c^2$ (знаменатель близок к единице), мы можем с огромной точностью использовать приближение:
Здесь нельзя пренебрегать знаменателем, так как именно он несет в себе поправку, обуславливающую релятивистский эффект в $0,01\%$. Рассчитаем точное значение:
$$ v_0 \approx v - u = 100\,000 - 90 = 99\,910 \text{ км/с}$$
(Проверка: скорость сближения в системе Земли $v' = v_0 + u = 99\,920 + 90 = 100\,010 \text{ км/с}$, что в точности равно $100\,000 \cdot 1{,}0001$, как и сказано в условии).
### Ответ
### Ответ
1. Генерал неправ физически (скорость света инвариантна), но прав математически: благодаря инвариантности отношения времен $k$, расчет по его классическим формулам парадоксально дает истинную скорость сближения в системе «Земля».
1. Генерал неправ физически (скорость света инвариантна), но прав математически: благодаря инвариантности отношения времен $k$, расчет по его классическим формулам парадоксально дает истинную скорость сближения в системе «Земля».
2. Скорость лаборатории $u \approx 90$ км/с; скорость объекта $v_0 \approx 99\,910$ км/с.
2. Скорость лаборатории $u \approx 90$ км/с; скорость объекта $v_0 \approx 99\,920$ км/с.
