Решение

1. Анализ радарного импульса и парадокс генерала

Физически генерал ошибается: согласно второму постулату СТО, скорость света в вакууме строго равна $c$ для любого инерциального наблюдателя. Ученые в лаборатории измеряют скорость сближения $v$ через времена возвращения импульсов $\tau_1$ и $\tau_2$ абсолютно корректно:
$$v = c \frac{\tau_1 - \tau_2}{\tau_1 + \tau_2} = c \frac{k - 1}{k + 1}$$
где $k = \tau_1/\tau_2$ — отношение времен.

Однако интуиция генерала приводит к удивительному результату. Если применить к свету классический закон сложения скоростей (импульс удаляется со скоростью $c-u$ и возвращается со скоростью $c+u$, где $u$ — скорость лаборатории относительно Земли), то рассчитанная таким образом скорость $v'$ выразится как:
$$v' = \left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right) \frac{v}{1 - \frac{vu}{c^2}}$$
Потрясающий факт заключается в том, что эта формула $v'$ в точности совпадает с истинной скоростью сближения объекта и лаборатории в системе отсчета «Земля»!

Почему это не случайное совпадение?
Секрет кроется в параметре $k$. При переходе от системы лаборатории к системе Земли оба интервала времени ($\tau_1$ и $\tau_2$) подвергаются одинаковому релятивистскому замедлению (умножаются на фактор Лоренца $\gamma$). Поскольку оба времени растягиваются пропорционально, их отношение $k$ остается инвариантным. Генерал использует неверные абсолютные значения классических скоростей, но при вычислениях эти ошибки идеально сокращаются. Математика геометрии пространства-времени скрыто исправляет ошибку генерала, выдавая верный релятивистский результат.

2. Расчет скорости лаборатории

По условию разница между земной скоростью сближения $v'$ и лабораторной $v$ составляет $0,01%$, то есть долю $\alpha = 10^{-4}$. Запишем их разность:
$$v' - v = \frac{v\left(1 - \frac{u^2}{c^2}\right)}{1 - \frac{uv}{c^2}} - v = v \frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha v$$

Сокращаем $v$ и выражаем скорость лаборатории $u$. Поскольку $\alpha = 10^{-4} \ll 1$, искомая скорость лаборатории крайне мала ($u \ll v$). Пренебрегая величиной $u$ по сравнению с $v$ в числителе и слагаемым $uv$ по сравнению с $c^2$ в знаменателе, упрощаем уравнение:
$$\frac{u(v - u)}{c^2 - uv} = \alpha \implies u \approx \frac{\alpha c^2}{v}$$

Подставляем известные значения ($c = 300\,000$ км/с, $v = 100\,000$ км/с):
$$u \approx \frac{10^{-4} \cdot (3 \cdot 10^5)^2}{10^5} = \frac{10^{-4} \cdot 9 \cdot 10^{10}}{10^5} = 90 \text{ км/с}$$
Эта скорость принадлежит самой быстрой земной космической лаборатории (что является колоссальным значением для человеческих технологий).

3. Расчет скорости объекта

Скорость объекта относительно Земли $v_0$ по релятивистскому закону сложения скоростей связана со скоростью лаборатории $u$ и их относительной скоростью сближения $v$ как:
$$v_0 = \frac{v - u}{1 - \frac{vu}{c^2}}$$

Здесь нельзя пренебрегать знаменателем, так как именно он несет в себе поправку, обуславливающую релятивистский эффект в $0,01%$. Рассчитаем точное значение:
Числитель: $v - u = 100\,000 - 90 = 99\,910 \text{ км/с}$.
Знаменатель: $1 - \frac{vu}{c^2} = 1 - \frac{10^5 \cdot 90}{9 \cdot 10^{10}} = 1 - 10^{-4} = 0{,}9999$.

Тогда скорость объекта:
$$v_0 = \frac{99\,910}{0{,}9999} \approx 99\,910 \cdot (1 + 10^{-4}) \approx 99\,920 \text{ км/с}$$