Решение

В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную сферическую полость (пустую внутри оболочку), весь заряд которой сосредоточен на поверхности и у которой есть 2 небольших отверстия для пролета пучка заряженных частиц.

1. Модель задачи

Для начала обоснуем, почему продольную скорость частиц $v$ можно считать неизменной. Начальная кинетическая энергия частиц равна $qV_0$. При пролете сквозь поле заряженной сферы энергия частицы изменяется на величину порядка $qV$. Поскольку по условию $V \ll V_0$, изменение энергии $qV \ll qV_0$ является пренебрежимо малым. Мы вправе считать, что частица летит через всю систему с постоянной продольной скоростью $v$.
Для расчета электрических полей применим "принцип суперпозиции". Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух систем:

1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $\sigma$.
2. Два небольших диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных в местах входного и выходного отверстий (они «вырезают» дырки в сплошной сфере).

Поле внутри идеальной сплошной сферы строго равно нулю. Следовательно, всё электрическое поле внутри полости создается исключительно этими двумя локальными дисками. Поле каждого диска максимально вблизи самого отверстия и стремительно затухает при удалении от него. Поэтому изменение импульса частицы происходит не плавно, а в виде двух резких «толчков» в моменты прохождения сквозь отверстия.

2. Первый поперечный импульс на входе

Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Чтобы найти суммарный поперечный импульс, полученный при прохождении первого отверстия, применим теорему Гаусса. Выделим мысленный цилиндр радиуса $x$, ось которого совпадает с траекторией частицы, охватывающий только область первого отверстия (от пространства далеко снаружи до области достаточно глубоко внутри полости, где поле первого диска уже затухло).

Цилиндр вырезает из заряженной оболочки площадку с зарядом $\Delta q_1 = \pi x^2 \sigma$.
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
$$2\pi x \int_{1} E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$

Отсюда интеграл поперечного поля в зоне первого отверстия:
$$\int_{1} E_\perp dz = \frac{\sigma x}{2\varepsilon_0}$$

Поперечный импульс, который частица приобретает, пробивая локальное поле входного отверстия:
$$p_{\perp 1} = \int q E_\perp \frac{dz}{v} = \frac{q}{v} \int_{1} E_\perp dz = \frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}$$

3. Проверка фокусировки внутри полости

Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости. У нее появляется поперечная скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленная к оси пучка.

Время, за которое частица долетела бы до оси, равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. За это же время по горизонтали она пролетит расстояние $f_1$ (фокусное расстояние после первого отверстия):
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{v}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}}$$

Подставляем найденный импульс:
$$f_1 = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$

Кинетическая энергия частиц задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$.
Потенциал в центре заряженной сферы $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$, откуда $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$.
Подставляем это в формулу для $f_1$:
$$f_1 = \frac{2(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 4R \frac{V_0}{V}$$

По условию $V \ll V_0$, а значит, $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости. Частицы долетают до выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси.

4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние

Пролетая сквозь выходное отверстие на удалении $x$, частица пересекает локальное поле второго «вырезанного» диска и получает второй, абсолютно такой же поперечный импульс:
$$p_{\perp 2} = \frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}$$

Полный поперечный импульс после вылета из мишени:
$$p_\perp = p_{\perp 1} + p_{\perp 2} = \frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}$$

Итоговое фокусное расстояние $f$ всей системы:
$$f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$

Снова подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ:
$$f = \frac{(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V}$$