Движение заряженных частиц в электрическом поле > Фокусировка заряженных частиц > Задача 7.2.9

Условие

Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов , проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы ?

Решение

В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную пустую сферическую оболочку, весь заряд которой сосредоточен на поверхности, с двумя небольшими отверстиями для пролета пучка.

1. Физическая модель и принцип суперпозиции

Поскольку , изменение продольной кинетической энергии пучка пренебрежимо мало (). Скорость частиц вдоль оси можно считать постоянной. Кроме того, учитывая огромную скорость пучка и традиционные допущения подобных задач, мы пренебрегаем влиянием внешнего рассеивающего поля на больших расстояниях от сферы, фокусируя внимание только на резких локальных «толчках» поля непосредственно в отверстиях (эффект апертурной линзы).

Для строгого расчета локальных полей применим принцип суперпозиции. Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух идеальных систем:

1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью .
2. Два «виртуальных» диска с плотностью заряда , расположенных строго в местах входного и выходного отверстий.

Внутри идеальной сплошной сферы электрическое поле строго равно нулю. Следовательно, всё фокусирующее поперечное поле внутри полости вблизи отверстий создается исключительно этими двумя виртуальными дисками с зарядом .

2. Первый поперечный импульс на входе

Пусть частица летит на расстоянии от оси симметрии пучка (). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия.

Выделим малый гауссов цилиндр радиуса и толщиной , охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска по модулю равный . Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект).

По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:

Отсюда интеграл поперечного поля в зоне локального отверстия:

Поперечный импульс, который частица приобретает, пробивая это локальное поле:

3. Проверка фокусировки внутри полости

Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость , направленную к оси пучка.

Время долета до оси равно . Фокусное расстояние после первого отверстия :

Кинетическая энергия задается ускоряющим напряжением: .
Потенциал сферы , откуда .
Подставляем в :

Так как , то . Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости, достигая выходного отверстия практически на том же расстоянии от оси.

4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние

Пролетая выходное отверстие, частица пересекает локальное поле второго виртуального диска () и получает аналогичный поперечный импульс, направленный к оси:

Полный поперечный импульс после вылета:

Итоговое фокусное расстояние всей системы:

Подставляя и , получаем окончательный ответ для пустой сферической оболочки:

Ответ

*Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.*