Решение

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{geometry}
\geometry{left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,decorations.pathreplacing}

\begin{document}

\section*{Решение задачи о глубине резкости фотоаппарата}

\textbf{Условие задачи:} \
Изображение предметов, удалённых от фотоаппарата на расстояние от $a_1 = 2\text{ м}$ до $a_2 = 4\text{ м}$, получилось достаточно резким при диафрагме $d = 4$. Определите границы резко изображаемого пространства (глубину резкости) при значениях диафрагмы $d = 2$ и $d = 8$.

\subsection*{1. Физические основы и математическая модель}

В идеальной оптической системе точке в пространстве предметов соответствует точечное изображение. Однако на практике фотоплёнка или цифровая матрица обладают конечным разрешением. Границы резкости определяются минимально допустимым размером пятна рассеяния $\delta$ (диаметром пятна резкости) на фотоплёнке.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95, >=stealth]
% Оптическая ось
\draw[dashdot, gray] (-6,0) -- (8,0) node[right, black] {оптическая ось};

% Тонкая линза (объектив)
\draw[thick, <->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {Объектив};
\node[below left] at (0,0) {$O$};

% Диафрагма (радиус R)
\draw[ultra thick, line cap=round] (0,1.8) -- (0,3);
\draw[ultra thick, line cap=round] (0,-1.8) -- (0,-3);
\draw[<->, red!80!black] (-0.3,0) -- (-0.3,1.8) node[midway, left] {$R$};

% Точка фокусировки S и её изображение S'
\fill (-4,0) circle (2pt) node[below] {$S$};
\fill (3,0) circle (2pt) node[below left] {$S'$};

% Лучи от точки S
\draw[blue!70!black] (-4,0) -- (0,1.8) -- (3,0);
\draw[blue!70!black] (-4,0) -- (0,-1.8) -- (3,0);

% Плоскость фотопленки
\draw[thick, darkgray] (3,-2.5) -- (3,2.5) node[above, black] {Плёнка};

% Точка S1 (ближе) и ее изображение S1'
\fill[red!80!black] (-5.5,0) circle (2pt) node[below] {$S_1$};
\fill[red!80!black] (4.2,0) circle (2pt) node[below] {$S_1'$};

% Лучи от S1 через край диафрагмы
\draw[red!80!black, dashed] (-5.5,0) -- (0,1.8) -- (4.2,0);
\draw[red!80!black, dashed] (-5.5,0) -- (0,-1.8) -- (4.2,0);

% Пятно резкости delta на пленке от точки S1
\draw[line width=1.5pt, red!80!black] (3,0.514) -- (3,-0.514);
\draw[decorate, decoration={brace, mirror, raise=2pt}] (3,-0.514) -- (3,0.514) 
    node[pos=0.5, right=4pt, red!80!black] {$\delta$};

% Размеры расстояний
\draw[<->] (-4,-1.2) -- (0,-1.2) node[midway, fill=white] {$a$};
\draw[<->] (0,-1.2) -- (3,-1.2) node[midway, fill=white] {$b$};
\draw[<->] (3,-1.2) -- (4.2,-1.2) node[midway, fill=white] {$\Delta b$};

\end{tikzpicture}
\end{center}

Примем следующие обозначения:
\begin{itemize}
\item $a$ — расстояние от объектива до предмета $S$, на который сфокусирован объектив;
\item $b$ — расстояние от объектива до плоскости плёнки (изображения $S'$);
\item $D$ — оптическая сила объектива;
\item $R$ — радиус светового отверстия (прозрачной части) объектива;
\item $d$ — значение диафрагменного числа (диафрагма), равное отношению фокусного расстояния к диаметру отверстия:
$$d \approx \frac{b}{2R} \implies \frac{R}{b} = \frac{1}{2d}$$
\end{itemize}

Для предмета $S$, находящегося в фокусе, справедлива формула тонкой линзы:
\begin{equation} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = D \end{equation}

Для предельных точек $S_1$ (расстояние $a_1$) и $S_2$ (расстояние $a_2$), изображения которых $S_1'$ и $S_2'$ смещены вдоль оптической оси на расстояние $\Delta b$, пересечение конуса лучей с плоскостью фотоплёнки образует пятно диаметром $\delta$.

Из подобия треугольников (см. чертёж) следует соотношение между размером пятна $\delta$ и смещением изображения $\Delta b$:
$$\frac{\delta}{\Delta b} = \frac{2R}{b} \implies \Delta b = \frac{\delta \cdot b}{2R} = \delta \cdot d$$

Запишем формулу тонкой линзы для ближней $a_1$ и дальней $a_2$ границ резкости:
\begin{align} \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b + \Delta b} &= D \implies \frac{1}{a_1} + \frac{1}{b + \delta d} = D \ \frac{1}{a_2} + \frac{1}{b - \Delta b} &= D \implies \frac{1}{a_2} + \frac{1}{b - \delta d} = D \end{align}

\subsection*{2. Упрощение формул для практических расчётов}

Так как величина пятна рассеяния $\delta d$ значительно меньше расстояния до фотоплёнки $b$ ($\delta d \ll b$), воспользуемся приближением для малых величин $\dfrac{1}{1 \pm x} \approx 1 \mp x$:

$$\frac{1}{b \pm \delta d} = \frac{1}{b \left(1 \pm \dfrac{\delta d}{b}\right)} \approx \frac{1}{b} \mp \frac{\delta d}{b^2}$$

Подставив это выражение в уравнения (eq:a1_exact) и (eq:a2_exact), с учётом основной формулы линзы (eq:lens) ($\frac{1}{b} = D - \frac{1}{a}$), получим удобные рабочие соотношения:

\begin{equation} \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} + \frac{\delta b^2}{d^{-1}} \dots \implies \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a} + \frac{\delta d}{b^2} \end{equation}
\begin{equation} \frac{1}{a_2} = \frac{1}{a} - \frac{\delta d}{b^2} \end{equation}

\subsection*{3. Определение параметров системы из условия}

По условию при диафрагме $d_0 = 4$ границы резкости равны $a_1 = 2\text{ м}$ и $a_2 = 4\text{ м}$.

1. **Расстояние фокусировки $a$:** \
   Сложим уравнения (eq:a1) и (eq:a2):
   $$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} = \frac{2}{a} \implies a = \frac{2 a_1 a_2}{a_1 + a_2}$$
   Подставим известные значения:
   $$a = \frac{2 \cdot 2 \cdot 4}{2 + 4} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\text{ м} \approx 2{,}67\text{ м}$$

2. **Константа глубины резкости ($\frac{\delta}{b^2}$):** \
   Вычтем из уравнения (eq:a1) уравнение (eq:a2):
   $$\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} = \frac{2 \delta d_0}{b^2} \implies \frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2 d_0} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right)$$
   Вычислим значение постоянного коэффициента:
   $$\frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{2 \cdot 4} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}\text{ м}^{-1}$$

\subsection*{4. Расчёт границ резкости для заданных диафрагм}

Теперь подставим найденные величины $\frac{1}{a} = \frac{3}{8}\text{ м}^{-1}$ и $\frac{\delta}{b^2} = \frac{1}{32}\text{ м}^{-1}$ в общие формулы (eq:a1) и (eq:a2):

$$\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{d}{32}, \qquad \frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{d}{32}$$

\subsubsection*{Случай 1: Диафрагма $d = 2$}
$$\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{2}{32} = \frac{12 + 2}{32} = \frac{14}{32} = \frac{7}{16}\text{ м}^{-1} \implies a_1 = \frac{16}{7}\text{ м} \approx \mathbf{2{,}29\text{ м}}$$
$$\frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{2}{32} = \frac{12 - 2}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}\text{ м}^{-1} \implies a_2 = \frac{16}{5}\text{ м} = \mathbf{3{,}20\text{ м}}$$

\subsubsection*{Случай 2: Диафрагма $d = 8$}
$$\frac{1}{a_1} = \frac{3}{8} + \frac{8}{32} = \frac{12 + 8}{32} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}\text{ м}^{-1} \implies a_1 = \frac{8}{5}\text{ м} = \mathbf{1{,}60\text{ м}}$$
$$\frac{1}{a_2} = \frac{3}{8} - \frac{8}{32} = \frac{12 - 8}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\text{ м}^{-1} \implies a_2 = \mathbf{8{,}00\text{ м}}$$

\subsection*{Ответ}
\begin{itemize}
\item При диафрагме $d = 2$ границы резкости составляют от $\mathbf{2{,}29\text{ м}}$ до $\mathbf{3{,}20\text{ м}}$.
\item При диафрагме $d = 8$ границы резкости расширяются от $\mathbf{1{,}60\text{ м}}$ до $\mathbf{8{,}00\text{ м}}$.
\end{itemize}

\end{document}