New solution

Valter edited
View solution History
revision #19828 newer →
ru/3.5.3.md +66 −0
@@ -0,0 +1,66 @@
+### Условие
+
+$3.5.3.$ [Вставьте условие задачи]
+
+### Решение
+
+### Условие
+
+$3.5.3^*.$ В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость $v_0$ и координату $x_0$. Какой будет амплитуда колебаний после $n$ ударов, если первый из них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет.
+
+*(Примечание: в ответе задачника переданный импульс обозначен как $p$, а не $p_0$, как в условии 3.5.1. Для согласованности с авторским ответом далее используется обозначение $p$).*
+
+### Решение
+
+Из задачи 3.5.2 известно, что гармоническому колебанию на фазовой плоскости с координатами $(x, \frac{p_{\text{имп}}}{m\omega})$ соответствует движение по окружности. Радиус этой окружности численно равен амплитуде колебаний $A$.
+По теореме Пифагора амплитуда для любого состояния выражается как:
+$$ A = \sqrt{x^2 + \left(\frac{p_{\text{имп}}}{m\omega}\right)^2} $$
+
+Важно учесть, что в момент кратковременного удара координата маятника $x$ измениться не успевает, а его импульс скачком увеличивается на величину переданного импульса $p$.
+
+Рассмотрим два случая частоты ударов.
+
+**Случай 1: Удары следуют через период $T_0$**
+
+За время, равное периоду свободных колебаний $T_0 = 2\pi/\omega$, изображающая точка на фазовом портрете совершает полный оборот (поворот на $360^\circ$) и возвращается к тем же координатам.
+
+1. В нулевой момент времени ($t=0$) начальный импульс равен $mv_0$. Сразу после **первого удара** импульс становится:
+ $$ p_1 = mv_0 + p $$
+2. К моменту второго удара (через время $T_0$) маятник совершает полное колебание и возвращается в точку с координатой $x_0$, а его импульс снова равен $p_1$. **Второй удар** мгновенно добавляет еще один импульс $p$:
+ $$ p_2 = (mv_0 + p) + p = mv_0 + 2p $$
+3. Поскольку каждый период система возвращается в исходное положение $x_0$, импульсы просто алгебраически накапливаются. Сразу после **$n$-го удара** суммарный импульс в этой точке составит:
+ $$ p_n = mv_0 + np $$
+4. Подставляя координату $x_0$ и накопленный импульс $p_n$ в формулу амплитуды, получаем:
+ $$ A_n = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{mv_0 + np}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right)^2} $$
+
+На фазовом портрете это движение выглядит как раскручивающаяся спираль, состоящая из концентрических дуг окружностей возрастающего радиуса.
+
+**Случай 2: Удары следуют через полпериода $T_0/2$**
+
+За время $T_0/2$ точка на фазовой плоскости совершает половину оборота (поворот на $180^\circ$). При этом обе координаты (и положение, и импульс) меняют знак на противоположный.
+
+1. **Первый удар ($n=1$, нечетное):** Происходит при $t=0$. Импульс скачком становится $p_1 = mv_0 + p$. Амплитуда после первого удара:
+ $$ A_1 = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right)^2} $$
+2. **Эволюция до второго удара:** Через время $T_0/2$ обе координаты меняют знак. Положение становится $-x_0$, а импульс $-(mv_0 + p)$.
+3. **Второй удар ($n=2$, четное):** Наносится удар, добавляющий импульс $+p$. Вычисляем новый импульс:
+ $$ p_2 = -(mv_0 + p) + p = -mv_0 $$
+ Рассчитаем амплитуду для этого состояния (с учетом координаты $-x_0$):
+ $$ A_2 = \sqrt{(-x_0)^2 + \left(\frac{-mv_0}{m\omega}\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} $$
+ Маятник «сбрасывает» энергию удара и переходит на орбиту меньшего радиуса (амплитуда уменьшается).
+4. **Эволюция до третьего удара:** Через еще $T_0/2$ (итого прошел целый период $T_0$) координаты снова меняют знак: $-(-x_0) = x_0$ и $-(-mv_0) = mv_0$. Система вернулась в точности в свое исходное состояние (которое было до первого удара).
+5. **Третий удар ($n=3$, нечетное):** Снова добавляет импульс $p$ к исходному $mv_0$. Состояние становится полностью идентичным состоянию после первого удара, следовательно, $A_3 = A_1$.
+
+Таким образом, для всех нечетных $n$ амплитуда равна $A_1$, а для всех четных $n$ она равна $A_2$. На фазовом портрете изображающая точка бесконечно прыгает между двумя замкнутыми полуокружностями (внешней и внутренней).
+
+### Ответ
+
+Если удары следуют друг за другом через промежутки времени $T_0$, то амплитуда:
+$$ A_n = \sqrt{\left[\frac{v_0}{\omega} + \frac{np}{m\omega}\right]^2 + x_0^2} $$
+Если через промежутки $T_0/2$, то амплитуда:
+$$ A_n = \sqrt{\left[\frac{v_0}{\omega} + \frac{p}{m\omega}\right]^2 + x_0^2} \quad \text{для нечетных } n, $$
+$$ A_n = \sqrt{\frac{v_0^2}{\omega^2} + x_0^2} \quad \text{для четных } n, $$
+где $\omega = 2\pi/T_0$.
+
+#### Ответ
+
+[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]