Edits to “Условие”, “Решение”, “Волна сжатия”

igor edited Aug 11, 2026, 2:33 PM

View solution History

revision #19979 parent #19972 ← older newer →

ru/3.8.7.md +85 −3

		@@ -1,11 +1,93 @@
			### Условие

		−	$3.8.7.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$3.8.7.$ На внешней стороне стекла иллюминатора космического корабля имеются разрушения, вызванные попаданием микрометеоритов. Подобные же разрушения видны на внутренней стороне. Объясните их появление.

		+	![К задаче $3.8.7$\|1187x402, 50%](../../img/3.8.7/387.png)
		+
		+
			### Решение

		−	1

		+	#### Волна сжатия
		+
		+	Качественное объяснение удобно провести через сферические волны.
		+
		+	Итак, метеорит ударяется о внешнюю границу стекла. Линейный размер области удара пусть много меньше толщины разрушения в месте удара (основное разрушение). На расстояниях порядка толщины основного разрушения в стекле движется бегущая сферическая волна (выглядит как полусферическая в стекле действительно) с центром волнового фронта в месте удара. Это волна сжатия и посчитаем ее толщину $\delta$ много меньше толщины основного разрушения (тонкая волна).
		+
		+	![\|1699x534, 50%](../../img/3.8.7/387a.png)
		+
		+	В точке $A$ был удар; $r$ есть расстояние от места удара до волны.
		+
		+	Продолжим рассуждения без учета каких-либо потерь энергии для тонкой сферической волны, которую в каждый данный момент по тонкой геометрии можно представить как состоящую из множества плоских волн, расходящихся в свою сторону.
		+
		+	Пусть изменение давления $\Delta P$ в нашей волне одинаково в каждый момент по всей толщине ее $\delta$. Энергия в волне из соотношения для плоских равна:
		+
		+	$$
		+	W=2\pi r^2\delta\cdot E\varepsilon^2,
		+	$$
		+
		+	где $2\pi r^2\delta$ есть объем волны на расстоянии $r$ от места удара, $E\varepsilon^2$ есть плотность энергии волны (тут $E$ есть модуль Юнга, $\varepsilon$ есть относительная деформация).
		+
		+	Откуда с учетом $\Delta P=E\varepsilon$
		+
		+	$$
		+	\Delta P=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{r}.
		+	$$
		+
		+	С расстоянием от точки удара изменение давления в волне падает. Можем считать, что волна смогла разрушить стекло на расстоянии $d$ (толщина основного разрушения), но не более, значит, максимальное выдерживаемое изменение давления сжатия
		+
		+	$$
		+	\boxed{\Delta P_\text{сж.$\,$max}=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{d}.\tag{1}}
		+	$$
		+
		+	Распространяясь сферическим куполом изменение давления в волне убывает с расстоянием, и при $r>d$ до касания внутренней грани (стороны стекла) изменение давления сжатия меньше $\Delta P_\text{сж.$\,$max}$ и стекло не разрушается.
		+
		+
		+	#### Волна растяжения
		+
		+	Обозначим толщину стекла $H$.
		+
		+	Пусть внутренняя грань идеально свободная. Мы знаем по задаче [$3.8.5$](../3.8.5), что после касания фронта волны сжатия внутренней грани стекла возмущение в стекле будет результатом наложения этой прямой волны сжатия и такой же обратной волны, но растяжения, движущейся симметрично относительно свободной грани навстречу прямой волне. Обратная волна источается как будто из точки на расстоянии $2H$ от реального места удара.
		+
		+	![\|1704x970, 50%](../../img/3.8.7/387b.png)
		+
		+	Здесь $B$ есть мнимая точка истока обратной волны.
		+
		+	Не будем рассматривать тонкую область наложения прямой и обратной волн. Скажем, что через время $\delta/(2c)$ после касания прямой внутренней грани, где $c$ есть скорость распространения волны в стекле, на расстоянии $\delta/2$ от внутренней грани начнется появление возмущения чистого растяжения — это обратная волна, середина которой движется к точке удара метеорита.
		+
		+	![\|1701x964, 50%](../../img/3.8.7/387c.png)
		+
		+	Именно с этого момента может начать разрушаться стекло через растяжение, так как прочность стекла на растяжение значительно меньше(!), чем на сжатие. Разрушение растяжением упрощенно может быть в области, где побывает только обратная волна.
		+
		+	В нашей модели для края разрушения растяжением (на внутренней грани стекла), толщина которого пусть $b$, мы запишем формулу $(1)$ применительно к обратной волне по справедливости из симметри прямой и обратной волн:
		+
		+	$$
		+	\boxed{\Delta P_\text{рас.$\,$max}=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{H+b}.}\tag{2}
		+	$$
		+
		+	Разделим $(1)$ на $(2)$ и выразим $b$:
		+
		+	$$
		+	b=\frac{\Delta P_\text{сж.$\,$max}d-\Delta P_\text{рас.$\,$max}H}{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}.
		+	$$
		+
		+	Условие существования разрушения внутри есть $b>0$, что на предыдущее накладывает
		+
		+	$$
		+	\Delta P_\text{сж.$\,$max}d-\Delta P_\text{рас.$\,$max}H>0
		+	$$
		+
		+	или
		+
		+	$$
		+	\boxed{d>\frac{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}{\Delta P_\text{сж.$\,$max}}H.}
		+	$$
		+
		+	При таких толщинах основного разрушения появятся разрушения на внутренней стороне.
		+
		+	Посмотрите, что эта модель дает близкое значение толщины откола снутри по рисунку к задаче для обычных стекол с $\dfrac{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}{\Delta P_\text{сж.$\,$max}}\sim0{,}1$.
		+
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	При отражении волны от внутренней поверхности стекла в нем возникает область напряжения (растяжения), которое может быть больше максимально выдерживаемого напряжения на растяжение.

	@@ -1,11 +1,93 @@
	### Условие		### Условие

	$3.8.7.$ [Вставьте условие задачи]		$3.8.7.$ На внешней стороне стекла иллюминатора космического корабля имеются разрушения, вызванные попаданием микрометеоритов. Подобные же разрушения видны на внутренней стороне. Объясните их появление.

			![К задаче $3.8.7$\|1187x402, 50%](../../img/3.8.7/387.png)


	### Решение		### Решение

	1

			#### Волна сжатия

			Качественное объяснение удобно провести через сферические волны.

			Итак, метеорит ударяется о внешнюю границу стекла. Линейный размер области удара пусть много меньше толщины разрушения в месте удара (основное разрушение). На расстояниях порядка толщины основного разрушения в стекле движется бегущая сферическая волна (выглядит как полусферическая в стекле действительно) с центром волнового фронта в месте удара. Это волна сжатия и посчитаем ее толщину $\delta$ много меньше толщины основного разрушения (тонкая волна).

			![\|1699x534, 50%](../../img/3.8.7/387a.png)

			В точке $A$ был удар; $r$ есть расстояние от места удара до волны.

			Продолжим рассуждения без учета каких-либо потерь энергии для тонкой сферической волны, которую в каждый данный момент по тонкой геометрии можно представить как состоящую из множества плоских волн, расходящихся в свою сторону.

			Пусть изменение давления $\Delta P$ в нашей волне одинаково в каждый момент по всей толщине ее $\delta$. Энергия в волне из соотношения для плоских равна:

			$$
			W=2\pi r^2\delta\cdot E\varepsilon^2,
			$$

			где $2\pi r^2\delta$ есть объем волны на расстоянии $r$ от места удара, $E\varepsilon^2$ есть плотность энергии волны (тут $E$ есть модуль Юнга, $\varepsilon$ есть относительная деформация).

			Откуда с учетом $\Delta P=E\varepsilon$

			$$
			\Delta P=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{r}.
			$$

			С расстоянием от точки удара изменение давления в волне падает. Можем считать, что волна смогла разрушить стекло на расстоянии $d$ (толщина основного разрушения), но не более, значит, максимальное выдерживаемое изменение давления сжатия

			$$
			\boxed{\Delta P_\text{сж.$\,$max}=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{d}.\tag{1}}
			$$

			Распространяясь сферическим куполом изменение давления в волне убывает с расстоянием, и при $r>d$ до касания внутренней грани (стороны стекла) изменение давления сжатия меньше $\Delta P_\text{сж.$\,$max}$ и стекло не разрушается.


			#### Волна растяжения

			Обозначим толщину стекла $H$.

			Пусть внутренняя грань идеально свободная. Мы знаем по задаче [$3.8.5$](../3.8.5), что после касания фронта волны сжатия внутренней грани стекла возмущение в стекле будет результатом наложения этой прямой волны сжатия и такой же обратной волны, но растяжения, движущейся симметрично относительно свободной грани навстречу прямой волне. Обратная волна источается как будто из точки на расстоянии $2H$ от реального места удара.

			![\|1704x970, 50%](../../img/3.8.7/387b.png)

			Здесь $B$ есть мнимая точка истока обратной волны.

			Не будем рассматривать тонкую область наложения прямой и обратной волн. Скажем, что через время $\delta/(2c)$ после касания прямой внутренней грани, где $c$ есть скорость распространения волны в стекле, на расстоянии $\delta/2$ от внутренней грани начнется появление возмущения чистого растяжения — это обратная волна, середина которой движется к точке удара метеорита.

			![\|1701x964, 50%](../../img/3.8.7/387c.png)

			Именно с этого момента может начать разрушаться стекло через растяжение, так как прочность стекла на растяжение значительно меньше(!), чем на сжатие. Разрушение растяжением упрощенно может быть в области, где побывает только обратная волна.

			В нашей модели для края разрушения растяжением (на внутренней грани стекла), толщина которого пусть $b$, мы запишем формулу $(1)$ применительно к обратной волне по справедливости из симметри прямой и обратной волн:

			$$
			\boxed{\Delta P_\text{рас.$\,$max}=\sqrt{\frac{EW}{2\pi\delta}}\cdot\frac{1}{H+b}.}\tag{2}
			$$

			Разделим $(1)$ на $(2)$ и выразим $b$:

			$$
			b=\frac{\Delta P_\text{сж.$\,$max}d-\Delta P_\text{рас.$\,$max}H}{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}.
			$$

			Условие существования разрушения внутри есть $b>0$, что на предыдущее накладывает

			$$
			\Delta P_\text{сж.$\,$max}d-\Delta P_\text{рас.$\,$max}H>0
			$$

			или

			$$
			\boxed{d>\frac{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}{\Delta P_\text{сж.$\,$max}}H.}
			$$

			При таких толщинах основного разрушения появятся разрушения на внутренней стороне.

			Посмотрите, что эта модель дает близкое значение толщины откола снутри по рисунку к задаче для обычных стекол с $\dfrac{\Delta P_\text{рас.$\,$max}}{\Delta P_\text{сж.$\,$max}}\sim0{,}1$.


	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		При отражении волны от внутренней поверхности стекла в нем возникает область напряжения (растяжения), которое может быть больше максимально выдерживаемого напряжения на растяжение.