Решение

а) Введем систему координат, как показано на рисунке к задаче: пучок летит вдоль оси $x$, поля направлены вертикально вверх вдоль оси $y$ ($\vec{E} = E \hat{j}$, $\vec{B} = B \hat{j}$). Сила, действующая на электрон (с зарядом $q = -e$) — это сила Лоренца:
$$\vec{F} = -e\vec{E} - e(\vec{v} \times \vec{B})$$
Поскольку отклонения малы, время пролета внутри конденсатора составляет $t_1 \approx l/v$.
Поперечные силы, действующие на электрон:
$F_y = -eE$ (электрическая сила отклоняет вниз, против оси $y$)
$F_z = -e(v\hat{i} \times B\hat{j})_z = -evB$ (магнитная сила отклоняет против оси $z$)

Поперечные компоненты скорости при вылете из конденсатора:
$$v_z = a_z t_1 = -\frac{evB}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eBl}{m}$$
$$v_y = a_y t_1 = -\frac{eE}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{mv}$$

Поскольку $L \gg l$, мы можем пренебречь малым смещением электрона внутри самого конденсатора и рассматривать смещение только во время свободного полета к экрану, где время дрейфа $t_2 \approx L/v$:
$$z \approx v_z t_2 = -\frac{eBlL}{mv}$$
$$y \approx v_y t_2 = -\frac{eElL}{mv^2}$$

Чтобы найти уравнение траектории на экране (в координатах $z, y$), выразим скорость $v$ из уравнения для горизонтального отклонения $z$:
$$v = -\frac{eBlL}{mz}$$
Подставим полученное выражение в уравнение для вертикального отклонения $y$:
$$y = -\frac{eElL}{m} \left( -\frac{mz}{eBlL} \right)^2 = - \frac{mE}{e B^2 l L} z^2$$
След на экране представляет собой ветвь параболы (электроны попадают в квадрант $-z, -y$).

б) Подставим числовые значения. Используя массу электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг и элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл:
$$y = - \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 5 \cdot 10^5}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 1^2 \cdot 0.05 \cdot 0.5} z^2 \approx -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2 \; (\text{м})$$

в) Для релятивистских скоростей необходимо использовать импульс $\vec{p} = \gamma m_e \vec{v}$.
Изменение поперечного импульса внутри конденсатора определяется импульсом действующих сил $\Delta \vec{p} = \vec{F} t_1$:
$$p_z = -evB \frac{l}{v} = -eBl$$
$$p_y = -eE \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{v}$$

Координаты на экране определяются скоростями $v_z = p_z / (\gamma m_e)$ и $v_y = p_y / (\gamma m_e)$:
$$z = v_z \frac{L}{v} = \frac{p_z L}{\gamma m_e v} = -\frac{eBlL}{p}$$
$$y = v_y \frac{L}{v} = \frac{p_y L}{\gamma m_e v} = - \frac{eElL}{p v}$$
где $p = \gamma m_e v$ — полный импульс электрона.

Из этих уравнений можно выразить полный импульс $p$ и произведение $pv$:
$$p = -\frac{eBlL}{z} \quad \text{и} \quad pv = - \frac{eElL}{y}$$
Разделив второе выражение на первое, найдем скорость:
$$v = \frac{pv}{p} = \frac{E z}{B y}$$

Используем релятивистскую связь между импульсом и скоростью: $p = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$. Подставим выражения для $p$ и $v$ в это соотношение:
$$-\frac{eBlL}{z} = \frac{m_e (Ez / By)}{\sqrt{1 - \left( \frac{Ez}{Bcy} \right)^2}}$$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и минуса:
$$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} \left( 1 - \frac{E^2 z^2}{B^2 c^2 y^2} \right) = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$
Раскроем скобки:
$$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} - \frac{e^2 E^2 l^2 L^2}{c^2 y^2} = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$
Умножим всё выражение на $z^2 y^2$ и выразим $y^2$:
$$e^2 B^2 l^2 L^2 y^2 = \frac{e^2 E^2 l^2 L^2 z^2}{c^2} + \frac{m_e^2 E^2 z^4}{B^2}$$
$$y^2 = \frac{E^2 z^2}{e^2 B^2 l^2 L^2} \left( \frac{e^2 l^2 L^2}{c^2} + \frac{m_e^2 z^2}{B^2} \right)$$
Извлекая квадратный корень (и выбирая знак минус, так как отклонение происходит в отрицательном направлении оси $y$), получаем:
$$y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$$