| в) При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно формуле Лоренца $m = m_e / \sqrt{1 - \beta^2}$, где $\beta$ — отношение скорости электрона к скорости света, $m_e$ — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учетом эффекта изменения массы электрона. | | в) При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно формуле Лоренца $m = m_e / \sqrt{1 - \beta^2}$, где $\beta$ — отношение скорости электрона к скорости света, $m_e$ — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учетом эффекта изменения массы электрона. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| а) Введем систему координат, как показано на рисунке к задаче: пучок летит вдоль оси $x$, поля направлены вертикально вверх вдоль оси $y$ ($\vec{E} = E \hat{j}$, $\vec{B} = B \hat{j}$). Сила, действующая на электрон (с зарядом $q = -e$) — это сила Лоренца: | | а) Введем систему координат, как показано на рисунке к задаче: пучок летит вдоль оси $x$, поля направлены вертикально вверх вдоль оси $y$ ($\vec{E} = E \hat{j}$, $\vec{B} = B \hat{j}$). Сила, действующая на электрон (с зарядом $q = -e$) — это сила Лоренца: |
| $$\vec{F} = -e\vec{E} - e(\vec{v} \times \vec{B})$$ | | $$\vec{F} = -e\vec{E} - e(\vec{v} \times \vec{B})$$ |
| Поскольку отклонения малы, время пролета внутри конденсатора составляет $t_1 \approx l/v$. | | Поскольку отклонения малы, время пролета внутри конденсатора составляет $t_1 \approx l/v$. |
| Поперечные силы, действующие на электрон: | | Поперечные силы, действующие на электрон: |
| $F_y = -eE$ (электрическая сила отклоняет вниз, против оси $y$) | | $F_y = -eE$ (электрическая сила отклоняет вниз, против оси $y$) |
| $F_z = -e(v\hat{i} \times B\hat{j})_z = -evB$ (магнитная сила отклоняет против оси $z$) | | $F_z = -e(v\hat{i} \times B\hat{j})_z = -evB$ (магнитная сила отклоняет против оси $z$) |
| | | |
| Поперечные компоненты скорости при вылете из конденсатора: | | Поперечные компоненты скорости при вылете из конденсатора: |
| $$v_z = a_z t_1 = -\frac{evB}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eBl}{m}$$ | | $$v_z = a_z t_1 = -\frac{evB}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eBl}{m}$$ |
| $$v_y = a_y t_1 = -\frac{eE}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{mv}$$ | | $$v_y = a_y t_1 = -\frac{eE}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{mv}$$ |
| | | |
| Поскольку $L \gg l$, мы можем пренебречь малым смещением электрона внутри самого конденсатора и рассматривать смещение только во время свободного полета к экрану, где время дрейфа $t_2 \approx L/v$: | | Поскольку $L \gg l$, мы можем пренебречь малым смещением электрона внутри самого конденсатора и рассматривать смещение только во время свободного полета к экрану, где время дрейфа $t_2 \approx L/v$: |
| $$z \approx v_z t_2 = -\frac{eBlL}{mv}$$ | | $$z \approx v_z t_2 = -\frac{eBlL}{mv}$$ |
| $$y \approx v_y t_2 = -\frac{eElL}{mv^2}$$ | | $$y \approx v_y t_2 = -\frac{eElL}{mv^2}$$ |
| | | |
| Чтобы найти уравнение траектории на экране (в координатах $z, y$), выразим скорость $v$ из уравнения для горизонтального отклонения $z$: | | Чтобы найти уравнение траектории на экране (в координатах $z, y$), выразим скорость $v$ из уравнения для горизонтального отклонения $z$: |
| $$v = -\frac{eBlL}{mz}$$ | | $$v = -\frac{eBlL}{mz}$$ |
| Подставим полученное выражение в уравнение для вертикального отклонения $y$: | | Подставим полученное выражение в уравнение для вертикального отклонения $y$: |
| $$y = -\frac{eElL}{m} \left( -\frac{mz}{eBlL} \right)^2 = - \frac{mE}{e B^2 l L} z^2$$ | | $$y = -\frac{eElL}{m} \left( -\frac{mz}{eBlL} \right)^2 = - \frac{mE}{e B^2 l L} z^2$$ |
| След на экране представляет собой ветвь параболы (электроны попадают в квадрант $-z, -y$). | | След на экране представляет собой ветвь параболы (электроны попадают в квадрант $-z, -y$). |
| | | |
| б) Подставим числовые значения. Используя массу электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг и элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл: | | б) Подставим числовые значения. Используя массу электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг и элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл: |
| $$y = - \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 5 \cdot 10^5}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 1^2 \cdot 0.05 \cdot 0.5} z^2 \approx -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2 \; (\text{м})$$ | | $$y = - \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 5 \cdot 10^5}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 1^2 \cdot 0.05 \cdot 0.5} z^2 \approx -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2 \; (\text{м})$$ |
| | | |
| в) Для релятивистских скоростей необходимо использовать импульс $\vec{p} = \gamma m_e \vec{v}$. | | в) Для релятивистских скоростей необходимо использовать импульс $\vec{p} = \gamma m_e \vec{v}$. |
| Изменение поперечного импульса внутри конденсатора определяется импульсом действующих сил $\Delta \vec{p} = \vec{F} t_1$: | | Изменение поперечного импульса внутри конденсатора определяется импульсом действующих сил $\Delta \vec{p} = \vec{F} t_1$: |
| $$p_z = -evB \frac{l}{v} = -eBl$$ | | $$p_z = -evB \frac{l}{v} = -eBl$$ |
| $$p_y = -eE \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{v}$$ | | $$p_y = -eE \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{v}$$ |
| | | |
| Координаты на экране определяются скоростями $v_z = p_z / (\gamma m_e)$ и $v_y = p_y / (\gamma m_e)$: | | Координаты на экране определяются скоростями $v_z = p_z / (\gamma m_e)$ и $v_y = p_y / (\gamma m_e)$: |
| $$z = v_z \frac{L}{v} = \frac{p_z L}{\gamma m_e v} = -\frac{eBlL}{p}$$ | | $$z = v_z \frac{L}{v} = \frac{p_z L}{\gamma m_e v} = -\frac{eBlL}{p}$$ |
| $$y = v_y \frac{L}{v} = \frac{p_y L}{\gamma m_e v} = - \frac{eElL}{p v}$$ | | $$y = v_y \frac{L}{v} = \frac{p_y L}{\gamma m_e v} = - \frac{eElL}{p v}$$ |
| где $p = \gamma m_e v$ — полный импульс электрона. | | где $p = \gamma m_e v$ — полный импульс электрона. |
| | | |
| Из этих уравнений можно выразить полный импульс $p$ и произведение $pv$: | | Из этих уравнений можно выразить полный импульс $p$ и произведение $pv$: |
| $$p = -\frac{eBlL}{z} \quad \text{и} \quad pv = - \frac{eElL}{y}$$ | | $$p = -\frac{eBlL}{z} \quad \text{и} \quad pv = - \frac{eElL}{y}$$ |
| Разделив второе выражение на первое, найдем скорость: | | Разделив второе выражение на первое, найдем скорость: |
| $$v = \frac{pv}{p} = \frac{E z}{B y}$$ | | $$v = \frac{pv}{p} = \frac{E z}{B y}$$ |
| | | |
| Используем релятивистскую связь между импульсом и скоростью: $p = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$. Подставим выражения для $p$ и $v$ в это соотношение: | | Используем релятивистскую связь между импульсом и скоростью: $p = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$. Подставим выражения для $p$ и $v$ в это соотношение: |
| $$-\frac{eBlL}{z} = \frac{m_e (Ez / By)}{\sqrt{1 - \left( \frac{Ez}{Bcy} \right)^2}}$$ | | $$-\frac{eBlL}{z} = \frac{m_e (Ez / By)}{\sqrt{1 - \left( \frac{Ez}{Bcy} \right)^2}}$$ |
| Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и минуса: | | Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и минуса: |
| $$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} \left( 1 - \frac{E^2 z^2}{B^2 c^2 y^2} \right) = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$ | | $$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} \left( 1 - \frac{E^2 z^2}{B^2 c^2 y^2} \right) = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$ |
| Раскроем скобки: | | Раскроем скобки: |
| $$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} - \frac{e^2 E^2 l^2 L^2}{c^2 y^2} = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$ | | $$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} - \frac{e^2 E^2 l^2 L^2}{c^2 y^2} = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$ |
| Умножим всё выражение на $z^2 y^2$ и выразим $y^2$: | | Умножим всё выражение на $z^2 y^2$ и выразим $y^2$: |
| $$e^2 B^2 l^2 L^2 y^2 = \frac{e^2 E^2 l^2 L^2 z^2}{c^2} + \frac{m_e^2 E^2 z^4}{B^2}$$ | | $$e^2 B^2 l^2 L^2 y^2 = \frac{e^2 E^2 l^2 L^2 z^2}{c^2} + \frac{m_e^2 E^2 z^4}{B^2}$$ |
| $$y^2 = \frac{E^2 z^2}{e^2 B^2 l^2 L^2} \left( \frac{e^2 l^2 L^2}{c^2} + \frac{m_e^2 z^2}{B^2} \right)$$ | | $$y^2 = \frac{E^2 z^2}{e^2 B^2 l^2 L^2} \left( \frac{e^2 l^2 L^2}{c^2} + \frac{m_e^2 z^2}{B^2} \right)$$ |
| Извлекая квадратный корень (и выбирая знак минус, так как отклонение происходит в отрицательном направлении оси $y$), получаем: | | Извлекая квадратный корень (и выбирая знак минус, так как отклонение происходит в отрицательном направлении оси $y$), получаем: |
| $$y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$$ | | $$y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| а) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z^2$ | | а) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z^2$ |
| | | |
| б) $y = -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2$ м | | б) $y = -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2$ м |
| | | |
| в) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$ | | в) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$ |
| | | |
| --- | | --- |
| *Примечание к официальному ответу:* | | *Примечание к официальному ответу:* |
| При сверке с ответами в оригинальном задачнике Савченко следует обратить внимание на следующие опечатки и неточности: | | При сверке с ответами в оригинальном задачнике Савченко следует обратить внимание на следующие опечатки и неточности: |
| 1. В задачнике пропущены знаки минус. Поскольку электрон несет отрицательный заряд, смещение пучка происходит в отрицательном направлении осей $y$ и $z$, однако авторы приводят уравнение кривой по модулю. | | 1. В задачнике пропущены знаки минус. Поскольку электрон несет отрицательный заряд, смещение пучка происходит в отрицательном направлении осей $y$ и $z$, однако авторы приводят уравнение кривой по модулю. |
| 2. В официальном ответе к пункту (в) допущена грубая математическая опечатка: под знаком корня в первом слагаемом пропущен квадрат (напечатано $z \sqrt{z + \dots}$ вместо $z \sqrt{z^2 + \dots}$). Представленный в задачнике вид нарушает правила размерности физических величин. | | 2. В официальном ответе к пункту (в) допущена грубая математическая опечатка: под знаком корня в первом слагаемом пропущен квадрат (напечатано $z \sqrt{z + \dots}$ вместо $z \sqrt{z^2 + \dots}$). Представленный в задачнике вид нарушает правила размерности физических величин. |
