Решение

Способ 1.

Когда муравей тянет соломинку за один конец вдоль её длины, возникает максимальная сила трения покоя $F_{\text{тр}} = \mu mg$, направленная против движения. Если сила муравья $F < F_{\text{тр}}$, соломинка не сдвинется с места при попытке тащить её поступательно.

Однако если муравей будет приподнимать один конец соломинки, то сила нормальной реакции опоры $N$ на другом конце станет равна $mg/2$. Соответственно, сила трения на дальнем конце уменьшится в два раза. В этом случае муравей без труда сможет повернуть соломинку вокруг другого конца.

Поступая так поочерёдно с разных концов и немного поворачивая соломинку, муравей постепенно переместит её в нужном направлении, не преодолевая полную максимальную силу трения покоя при скольжении по всей длине.

Способ 2.

Муравей может тащить соломинку поступательно, не вращая её, если будет тянуть не горизонтально, а под некоторым углом $\alpha$ к горизонту (вверх).

Запишем условия равномерного движения соломинки (предельный случай):
По оси $x$: $$F \cos\alpha = F_{\text{тр}}$$
По оси $y$: $$N + F \sin\alpha = mg \implies N = mg - F \sin\alpha$$

Сила трения скольжения:
$$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu (mg - F \sin\alpha)$$

Подставим это в уравнение для горизонтальной оси:
$$F \cos\alpha = \mu mg - \mu F \sin\alpha$$
$$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$$

Отсюда выражаем силу $F$, необходимую для движения:
$$F(\alpha) = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$$

Чтобы муравью потребовалось приложить минимальную силу, знаменатель дроби должен быть максимальным. Найдем максимум функции $f(\alpha) = \cos\alpha + \mu \sin\alpha$. Взяв производную по $\alpha$ и приравняв к нулю, получим:
$$-\sin\alpha + \mu \cos\alpha = 0 \implies \tan\alpha = \mu$$

При таком угле знаменатель равен $\sqrt{1 + \mu^2}$. Тогда минимально необходимая сила:
$$F_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$$

Поскольку для любого $\mu > 0$ выполняется условие $\sqrt{1 + \mu^2} > 1$, то $F_{\text{min}} < \mu mg$.
Таким образом, подобрав правильный угол $\alpha = \arctan(\mu)$, муравей сможет тащить соломинку прямо к муравейнику, даже если его сила несколько меньше $\mu mg$.