3.4.18. Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону $x_1 = B \cos ( \omega_0 t + \varphi) + A \cos( \omega t ), \ x_2 = B \cos( \omega_0 t + \varphi ) - A \cos( \omega t )$ . Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого шарика $m$.
Решение
Общее решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная).
Симметричная мода (частота $\omega_0$): Маятники движутся синфазно, $x_1 = x_2 = B \cos(\omega_0 t + \varphi)$ — пружина при этом не деформируется, значит её жесткость не влияет на частоту, и $\omega_0$ — это просто частота одиночного маятника: $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$
Антисимметричная мода (частота $\omega$): Маятники движутся в противофазе, $x_1 = -x_2 = A \cos(\omega t)$ — пружина растягивается / сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе.
Уравнение движения для двух одинаковых маятников (масса $m$ и длина $l$), связанных пружиной жёсткости $k$ (точки крепления пружины совершают такие же перемещения $x_1, x_2$, что и грузы): $$\ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2)$$ $$m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1)$$
