Edits to “Условие”, “Решение”
ru/3.4.18.md
+3 −1
| @@ -1,7 +1,9 @@ | |||
| ### Условие | |||
| $3.4.18.$ Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону $x_1 = B \cos ( \omega_0 t + \varphi) + A \cos( \omega t ), \ x_2 = B \cos( \omega_0 t + \varphi ) - A \cos( \omega t )$ . Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого шарика $m$. | |||
| + |  | ||
| + | |||
| ### Решение | |||
| Общее решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная). | |||
| 1) Симметричная мода (частота $\omega_0$): | |||
| Маятники движутся синфазно, $x_1 = x_2 = B \cos(\omega_0 t + \varphi)$ — пружина при этом не деформируется, значит её жесткость не влияет на частоту, и $\omega_0$ — это просто частота одиночного маятника: | |||
| $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$ | |||
| 2) Антисимметричная мода (частота $\omega$): | |||
| @@ -15,7 +17,7 @@Решение | |||
| Маятники движутся в противофазе, $x_1 = -x_2 = A \cos(\omega t)$ — пружина растягивается / сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе. | |||
| Уравнение движения для двух одинаковых маятников (масса $m$ и длина $l$), связанных пружиной жёсткости $k$ (точки крепления пружины совершают такие же перемещения $x_1, x_2$, что и грузы): | |||
| − | $$ \ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2)$$ | ||
| + | $$m \ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2)$$ | ||
| $$m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1)$$ | |||
| Подставим антисимметричную моду $x_1 = -x_2 = x$: | |||
| $$m \ddot{x} = -\frac{mg}{l} x - 2kx \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m}$$ | |||
| Отсюда жёсткость пружины: | |||
| $$k = \frac{m(\omega^2 - \omega_0^2)}{2}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$[ k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} ]$$ | |||
| unchanged lines 10 | |||
| @@ -1,7 +1,9 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.4.18.$ Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону $x_1 = B \cos ( \omega_0 t + \varphi) + A \cos( \omega t ), \ x_2 = B \cos( \omega_0 t + \varphi ) - A \cos( \omega t )$ . Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого шарика $m$. | $3.4.18.$ Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону $x_1 = B \cos ( \omega_0 t + \varphi) + A \cos( \omega t ), \ x_2 = B \cos( \omega_0 t + \varphi ) - A \cos( \omega t )$ . Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого шарика $m$. | ||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Общее решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная). | Общее решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод (симметричная и антисимметричная). | ||
| 1) Симметричная мода (частота $\omega_0$): | 1) Симметричная мода (частота $\omega_0$): | ||
| Маятники движутся синфазно, $x_1 = x_2 = B \cos(\omega_0 t + \varphi)$ — пружина при этом не деформируется, значит её жесткость не влияет на частоту, и $\omega_0$ — это просто частота одиночного маятника: | Маятники движутся синфазно, $x_1 = x_2 = B \cos(\omega_0 t + \varphi)$ — пружина при этом не деформируется, значит её жесткость не влияет на частоту, и $\omega_0$ — это просто частота одиночного маятника: | ||
| $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$ | $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$ | ||
| 2) Антисимметричная мода (частота $\omega$): | 2) Антисимметричная мода (частота $\omega$): | ||
| @@ -15,7 +17,7 @@Решение | |||
| Маятники движутся в противофазе, $x_1 = -x_2 = A \cos(\omega t)$ — пружина растягивается / сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе. | Маятники движутся в противофазе, $x_1 = -x_2 = A \cos(\omega t)$ — пружина растягивается / сжимается на удвоенное смещение, и её сила добавляется к возвращающей силе. | ||
| Уравнение движения для двух одинаковых маятников (масса $m$ и длина $l$), связанных пружиной жёсткости $k$ (точки крепления пружины совершают такие же перемещения $x_1, x_2$, что и грузы): | Уравнение движения для двух одинаковых маятников (масса $m$ и длина $l$), связанных пружиной жёсткости $k$ (точки крепления пружины совершают такие же перемещения $x_1, x_2$, что и грузы): | ||
| $$ \ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2)$$ | $$m \ddot{x}_1 = -\frac{mg}{l} x_1 - k(x_1 - x_2)$$ | ||
| $$m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1)$$ | $$m \ddot{x}_2 = -\frac{mg}{l} x_2 - k(x_2 - x_1)$$ | ||
| Подставим антисимметричную моду $x_1 = -x_2 = x$: | Подставим антисимметричную моду $x_1 = -x_2 = x$: | ||
| $$m \ddot{x} = -\frac{mg}{l} x - 2kx \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m}$$ | $$m \ddot{x} = -\frac{mg}{l} x - 2kx \ \Rightarrow \ \omega^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k}{m} = \omega_0^2 + \frac{2k}{m}$$ | ||
| Отсюда жёсткость пружины: | Отсюда жёсткость пружины: | ||
| $$k = \frac{m(\omega^2 - \omega_0^2)}{2}$$ | $$k = \frac{m(\omega^2 - \omega_0^2)}{2}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$[ k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} ]$$ | $$[ k = \dfrac{m ( \omega^2 - \omega_0^2 ) }{2} ]$$ | ||
| unchanged lines 10 | |||