Решение

В условии задачи под «системой» подразумевается полная замкнутая термодинамическая система, включающая в себя рабочее тело тепловой машины, а также тепловые резервуары (нагреватель с температурой $T_1$ и холодильник с температурой $T_2$).

За один полный цикл рабочее тело возвращается в исходное состояние. Поскольку энтропия $S$ является функцией состояния, изменение энтропии самого рабочего тела за цикл всегда равно нулю:
$$\Delta S_{\text{р.т.}} = 0$$

Следовательно, полное изменение энтропии замкнутой системы за цикл складывается только из изменения энтропии тепловых резервуаров:
$$\Delta S_{\text{системы}} = \Delta S_{\text{нагр}} + \Delta S_{\text{холод}}$$

Пусть за цикл машина получает от нагревателя количество теплоты $Q_1$ и отдает холодильнику количество теплоты $Q_2$ (где $Q_1, Q_2 > 0$).
Тогда нагреватель теряет энтропию, а холодильник приобретает:
$$\Delta S_{\text{системы}} = -\frac{Q_1}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2}$$

Согласно второму началу термодинамики, энтропия замкнутой системы не может убывать ($\Delta S_{\text{системы}} \ge 0$). Следовательно:
$$\frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1}{T_1} \ge 0 \implies \frac{Q_2}{Q_1} \ge \frac{T_2}{T_1}$$

Теперь выразим КПД тепловой машины через работу $W = Q_1 - Q_2$:
$$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$$

Подставим сюда полученное термодинамическое неравенство $\frac{Q_2}{Q_1} \ge \frac{T_2}{T_1}$:
$$\eta \le 1 - \frac{T_2}{T_1}$$

Вывод:
КПД достигает своего максимально возможного значения $\eta_{\text{max}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ (КПД цикла Карно) в том и только в том случае, когда неравенство превращается в равенство:
$$\frac{Q_2}{T_2} - \frac{Q_1}{T_1} = 0 \implies \Delta S_{\text{системы}} = 0$$
Таким образом, КПД тепловой машины максимален, если процесс полностью обратим и полная энтропия системы не изменяется.